整理易错环节提升解题能力

黄欲涵

学习就是不断与“错误”斗争的过程，有时我们还得感谢“错误”，也是这些“错误”将我们的数学学习推送到一个更高的层次.

从全等图形到相似图形，是数学学习的一次飞跃，在学习过程中常常会出现一些解答错误，究其原因就是对相似图形中的一些定义、定理理解不清，对一些常用的基本思想方法掌握不牢.下面就和同学们一起来剖析那些学习中所出现的部分典型错误.

一、乘积式和比例式的互换

例1 若4y-3x=0，则[x+yy]= .

【错解】∵4y-3x=0，∴[yx]=[43].

∴[x+yy]=[74].

【析错】错误的原因是没有掌握乘积式和比例式的互换，我们根据比例的基本性质，乘积式转化为比例式记住一句话“左比右等于右比左”， 例4y=3x，那么“左面的y比右面的x，等于右面的3比左面的4”.

∵4y-3x=0，∴[yx]=[34].

∴[x+yy]=[73].

二、相似三角形中对应顶点（边）的确定

例2 如图1所示，△ABC中，DE∥BC，若[ADBD]=[12]，则[DEBC]= .

【错解】[DEBC]=[12].

【析错】当△ABC与△ADE相似时，这两个三角形的对应边成比例.但题中已知条件不是这两个三角形的对应边，还需转化到[ADAB]=[13]，得出[DEBC]=[13].

例3 如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，图中有几对相似的三角形，请说明理由.

【错解】有两对相似的三角形，△AOD∽△COB，△AOB∽△DOC.

【析错】有不少的同学为什么会发现有两对三角形相似呢？这些同学错误的原因是由△AOD∽△COB得到[AOCO]=[DOBO]，再得到[AODO]=[COBO]，加上∠AOB=∠COD，所以△AOB∽△DOC.但看清一下这个比例式[AODO]=[COBO]是不是这两个三角形相似的比例式呢？不是.而是[AODO]=[BOCO]，所以△AOB与△DOC不相似.所以只有一对，即△AOD∽△COB.

三、相似三角形的面积比等于相似比的平方

例4 如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（ ）

A.2∶3 B.2∶5 C.4∶9 D.[2∶][3]

【错解】选A.

【析错】由AD∥BC我们可以得到∠BCA=∠CAD，题中∠B=∠ACD=90°，可以由两角对应相等得到△ABC∽△DCA，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到△ABC与△DCA的面积比为4∶9，同学们错选的原因就是没有弄清三角形相似的性质，把面积比等于相似比的平方，记成了面积比等于相似比.

四、位似图形画在位似中心的两侧

例5 在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），B（-6，-4），以原点O为位似中心，位似比为[12]，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）

A.（-2，1） B.（-8，4）

C.（-8，4）或（8，-4） D.（-2，1）或（2，-1）

【错解】选A

【析错】位似中心在坐标原点，进行分类讨论.若“同侧”，则对应点的横（纵）坐标的比就是位似比，若“异侧”，则对应点的横（纵）坐标的符号相反.选D.

五、相似三角形分类讨论

例6 如图4，在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？

【错解】若△CPQ∽△CBA，

则[CPCB]=[CQCA]，

∴[4-2t4]=[t3]，∴t=[65].

【析错】△CPQ与△CBA相似，在没有告诉对应点的情况下应该分两种情况，一种是△CPQ∽△CBA，另外一种是△CPQ∽△CAB.

若△CPQ∽△CAB，则[CPAC]=[CQBC]，

得t=[1611].

所以在应用相似三角形解决问题的时候我们要注意分类思想的应用.

同学们，刚才分析了图形的相似这一章中易错的一些问题.面对问题只要认真整理归纳、纠正并及时反思，我们的学习就一定会天天向上.

（作者单位：江苏省常熟市周行学校）