分担值与正规族

吕凤姣， 蒋红敬

(黄河科技学院信息工程学院， 郑州450063)



分担值与正规族

吕凤姣， 蒋红敬

(黄河科技学院信息工程学院， 郑州450063)

亚纯函数；分担值；正规族

1引言及主要结果

定义2设f(z),g(z)为区域D上的两个亚纯函数，对复数a∈C,若f(z)-a的零点为zn(n=1,2,3,…)，如果zn(n=1,2,3,…)也是g(z)-a的零点(不计重数)，则称单向分担a，记为f(z)=a⟹g(z)=a。

定义3设F为复平面一区域D上的一族亚纯函数，如果从F中任取一函数序列{fn(z)}均可选出一子序列{fnk(z)}在区域D上按球距内闭一致收敛于一亚纯函数或∞，则称F在区域D上正规。

定理1[3]设f(z)是一个非常数亚纯函数，如果f(z)和f′(z)IM分担三个不同的复数a1,a2,a3,则f≡f′。

定理2[4]设F={f(z)}是单位圆盘Δ上的亚纯函数族，a1,a2,a3是三个不同的复数，如果对每个f∈F，f与f′同时分担值a1,a2,a3，则F在Δ上正规。

定理3[5]设F是D上的一亚纯函数族，a和b是两个不同的复数，如果对任一f∈F，f(z)与f′(z)在D内IM分担a,b，则F在D内正规。

定理4[6]设F是单位圆盘Δ上的一亚纯函数族，a是一个非零的有穷复数，如果对任一f∈F，f(z)与f′(z)在Δ内IM分担a，且f(z)的零点是重级的，则F在Δ内正规。

定理5[7]设F是单位圆盘Δ上的一亚纯函数族，a和b是任意两个非零有穷复数，k为正整数。如果对任一f∈F，f(z)的零点重级至少是k+1，且f(z)=a⟺f(k)(z)=b，则F在Δ上正规。

这时，自然地就会考虑定理中的条件能否进一步减弱为单向分担，本文证明了如下定理：

2相关引理

这里g(ζ)为复平面上的一个亚纯函数，其零点(极点)重级均≥k(j)，且g#(ζ)≤g#(0)=1。

注这是Zalcman引理的推广，亦称为Zalcman引理，其中当k=1,j=1,α=0时是Zalcman最早的结果。该形式是文献[12-14]推广而得到的。

这里g(ζ)为复平面上的一个非常数亚纯函数，其零点重级至少为k，且g#(ζ)≤g#(0)=kA+1。特别地，g(ζ)的级至多为2。

引理3[16](Hurwitz定理)设函数序列{fn(z)}在区域D内解析，并且在D内闭一致收敛到一个不恒为零的函数，γ是D内可求长的闭曲线，其内部属于D，且不经过f(z)的零点，则存在正整数N，使得当n≥N时，在γ内部，fn(z)和f(z)的零点个数是相同的。

引理4[17-18]设f(z)为复平面上的有穷级亚纯函数，b为非零复数，k为正整数。若f(z)的零点重级至少为k+1，极点重级至少为2，且f(k)(z)≠b，则f(z)为一常数。

3定理6的证明

又g(ξ)的零点重级至少为k+1，极点重级至少为2，由引理4知：g(ξ)为一常数，这与g(ξ)是非常数亚纯函数矛盾。从而定理6得证。

4结束语

目前，将正规族理论应用到亚纯函数唯一性的研究中，已取得了一些很好的结果。另外，正规族的基础理论在复动力系统的Julia集分形和拟共形映照理论等方面有着广泛的应用。

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Shared Values and Normal Families

LVFengjiao,JIANGHongjing

(College of Information Engineering, Huanghe Science and Technology College, Zhengzhou 450063, China)

meromorphic functions; shared values; normal family

2016-04-19

吕凤姣(1983-)，女，河南商丘人，讲师，硕士，主要从事复分析方面的研究，(E-mail)lvfengjiao_2008@163.com

1673-1549(2016)04-0078-03

10.11863/j.suse.2016.04.17

O174.52

A