例谈“设而不求”在解析几何中的运用

筅江苏省连云港市厉庄高级中学　陈卫光

例谈“设而不求”在解析几何中的运用

筅江苏省连云港市厉庄高级中学陈卫光

“设而不求”，顾名思义就是根据题意巧妙设立未知数并不真正解出来，而是建立“未知”和“已知”之间的关系，从而帮助我们解题，而未知数本身并不需要求出它的值.“设而不求”的方法把关注通过运算求解上升为关注分析求解，即通过少量的计算大量的分析实现解题.“设而不求”的方法在解析几何的一些问题中有诸多应用，它优化了学生的解题思路，让难题的解决更有信心.笔者在平时的教学实践中，发现“设而不求”的方法在解析几何中存在大量的运用，现整理如下，以期抛砖引玉.

一、运用一——点差法

点差法常常用来解决圆锥曲线的中点弦问题，即联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.若设出直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”.

“点差法”主要适用于题中涉及中点和斜率的问题.如：求中点弦方程、（过定点，平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线等问题.

1.证明定值问题

在解答平面解析几何中的定值问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程.

图1　

证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）（x0≠x1，x0≠ x2），于是，整理得，所以，即又OC//BP，所以kOC=kBP，于是kAP·kBP=-

评注：点差法的特点是题目中有明显或隐含的中点，而中点与斜率又有某种程度的关联.点差法的一般处理程序是设出关键点坐标，然后代入曲线方程，再作差，最后将表达式化成含有斜率与中点的式子.

2.点差法求直线的方程

在解析几何题中，经常已知点在曲线上，求另外相关点的轨迹方程，可以设出相关点，作差求出方程.

例2已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上，其中A（2，8），且△ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.

解析：由已知抛物线方程得G（8，0）.设BC的中点为M（x0，y0），则A、G、M三点共线，且|AG|=2|GM|，所以G分所成比为2，于是解得，所以M（11， -4）.设B（x1，y1），C（x2，y2），则y1y2=-8.又两式相减得y-4.故BC所在直线方程为y+4=-4（x-11），即4x+y-40=0. 3.点差法求点的轨迹

所求点的轨迹是由与之相关的点引起，而相关的点在已知曲线上，因而可以设出相关点，作差求得.例3已知椭圆+y2=1，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.

解析：设弦的两个端点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为M（x，y），则两式相减得=0，所以=0.又x1+x2=，所以x+4y=0.因为弦中点轨迹在已知椭圆内，故所求弦中点的轨迹方程为x+4y=0（在已知椭圆内）.

4.利用点差法求参数的取值范围

在一类曲线上是否存在关于某直线对称的问题中，经常会求参数的取值范围，此类题中常用点差法解决.

例4若抛物线C：y2=x上存在不同的两点关于直线l：y=m（x-3）对称，求实数m的取值范围.

解析：当m=0时，显然满足.

当m≠0时，设抛物线C上关于直线l：y=m（x-3）对称的两点分别为P（x1，y1）、Q（x2，y2），且PQ的中点为M（x0， y0），则，两式相减得，故.又因为中点M（x0，y0）在直线l：y=m（x-3）上，所以y0=m（x0-3），于是x0=.因为中点M在抛物线y2=x区域内，所以解得-

二、运用二——同构式的运用

同构式，也称为同解式，指在解决圆锥曲线中的直线方程时，式子的结构相同，此时可以设出直线方程，关注式子的形式，从形式的统一性求直线方程，实现“设而不求”目的，大大减少计算量，优化解题过程，是解决此类问题的最佳方法.

例5设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA、PB，其中A、B为切点.

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程.

解析：（Ⅰ）x2=4y.

（Ⅱ）抛物线C的方程为x2=4y，即y=x2，求导得y′=x.设A（x1，y1），B（x2，y2），则切线PA、PB的斜率分别为，所以切线PA的方程为y-y1=（x-x1），即y=+y1，即x1x-2y-2y1=0；同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA、PB均过点P（x0，y0），所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，所以（x1，y1）、（x2，y2）为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.

所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.

评注：同构式运用的重点是观察式子结构的特点，从已知的具有相同结构的等式中抽象出直线方程.显然观察法对学生的观察能力，直觉思维有更大的要求的，但是却让学生更加专注于问题分析，而不是大量计算.

三、运用三——运用参数方程

运用参数方程是解决圆锥曲线中与直线有关的动点轨迹的重要方法，该动点往往与动直线有紧密的联系.该方法与点差法有点类似，也需要设出直线与圆锥曲线的交点坐标，不过此时交点坐标被看成参数，然后将所得的式子选择性相乘，通过消参得到动点的轨迹方程.

解析：A1、A2为双曲线的左右顶点，它们的坐标为

A1（-，0），A2（，0），则A1P：y=x+，A2Q：y=，两式相乘得（x2-2）.因为点P（x1，y）1在双曲线上，则-=1，即x=，故y2=-（x2-2），即+y2=1.

经检验，以上所得椭圆的四个顶点无法取到，故交点轨迹E的方程为+y2=1（x≠0，且x≠±）.

可见，在解决圆锥曲线的一些动点轨迹方程时，运用参数方程也是一种设而不求的方法，它把关注点同样放在了式子的变形上，最终实现简化运算.总之，设而不求在高中数学中有很广泛的运用，笔者仅举几例说明，希望对一线的老师有所启迪.F