数系的扩充与复数的引入单元测试题

■河北省枣强中学 郭统福



数系的扩充与复数的引入单元测试题

■河北省枣强中学 郭统福

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)

A.1 B.3 C.-4 D.-5

3.若复数z满足(2-i)z=|1+2i|，则z的虚部为( )。

4.复数z满足(1+2i)z=4+ai(a∈R，i是虚数单位)，若复数z的实部与虚部相等则a等于( )。

A．第四象限 B．第三象限

C．第二象限 D．第一象限

A．圆 B．椭圆

C．双曲线 D．抛物线

A.-15 B.3 C.-3 D.15

8.i+i2+i3+…+i2 014=( )。

A.1+i B.-1-i

C.1-i D.-1+i

9.“复数z为实数”的充分而不必要条件是( )。

A．复平面内复数z对应的点在第一象限

C．若复数z1=z+b(b∈R)为纯虚数，则b=4

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

16.给出下列的命题：

(1)若z∈C，则z2≥0；

(2)若a,b∈R，且a>b，则a+i>b+i；

(3)若a∈R，则(a+1)i是纯虚数；

(4)若z=-i，则z3+1在复平面内对应的点位于第一象限。其中正确的命题是____。(填上所有正确的命题的序号)

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本题10分)当实数m取何值时,复数z=(m2-3m+m2i)-[4+(5m+6)i]为实数?为虚数?为纯虚数?

18.(本题12分)已知复数z=1+i。

19.(本题12分)设复数z=(a2-4sin2θ)+(1+2cosθ)i，其中i为虚数单位，a为实数，θ∈(0,π)。若z是方程x2-2x+5=0的一个根，且z在复平面内所对应的点在第一象限，求θ和a的值

20.(本题12分)已知x,y为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i，求x,y。

(1)求z2;

(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;

(3)求ω-u2的最小值。

7.C 8.D 9.B 10.C 11.C 12.B

15.-1 16.(4)

17.先把复数z整理成z=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i。

(1)当m2-5m-6=0,即m=-1或m=6时,z是实数。

(2)当m2-5m-6≠0,即m≠-1且m≠6时,z是虚数。

19.方程x2-2x+5=0的根为x=1±2i，因为z在复平面内所对应的点在第一象限，所以z=1+2i。

即(a2-4sin2θ)+(1+2cosθ)i=1+2i。

故所求的复数为：

(2)在△ABC中,由于内角A、B、C依次成等差数列, 则B=60°,A+C=120°。

=cosA+icosC。

所以|μ+z2|2=cos2A+cos2C

=cos (A+C)cos (A-C)+1

=1+cos 120°cos(A-C)

由于A+C=120°,所以A-C=120°-2C。因此-120°

22.(1)因为z是虚数,所以可设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0。

则x2+y2=1,即|z|=1。此时ω=2x。

因此，u为纯虚数。

ω-u2的最小值为1,此时z=±i。

(责任编辑 徐利杰)