二次函数与几何图形存在性问题

吴良聪

二次函数与几何图形存在性问题

吴良聪

二次函数中几何图形的存在问题是近年来常考的题型，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等来寻求等量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解.现举例说明.

例1（2011·淮安）如图1，已知二次函数y=-x2+bx+3的图像与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B.

图1

（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；

（2）在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】由于在x轴正半轴上且以AB为底边，所以这样的点P只有一个，易得AP=BP，又OP=OA-AP，所以可以借助勾股定理求出OP的长，从而得出P点坐标为特别要注意如果没有条件限制，我们就要分类讨论.

图2

（1）若A（-4，0），求二次函数的关系式；

（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM′的面积；

【分析】本题可以证明出四边形AMBM′为菱形，再添加一个条件使它成为正方形，从而确定是否存在，这个条件可以是一个角是直角，也可以是对角线相等.利用这些可求出M点坐标，于是可求出函数关系式为

例3（2010·遵义）如图3，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D.

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）是否存在点P使△ADP是直角三角形，若存在，求出点P的坐标；

（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.

图3

【分析】第（2）小问要对直角进行分类，由于PD∥y轴，所以∠ADP不可能为直角，那么只还有∠APD和∠DAP分别为直角两种情况.当∠APD为直角时，可以确定点P所在位置即点B位置，所以很容易求出点P第一种坐标，即点P（1，0）.当以∠DAP为直角时，易知OA=OC，因此∠OAC=45°，所以只需∠OAP=45°即可，再通过作垂线，可求出点P的第二个坐标为（2，-1）.

第（3）小问，当P在点B处时不存在这样的平行四边形；只有（2）中第2种情况存在，并且有两种情况，可根据点P的纵坐标来确定点F的纵坐标，从而求出点F的坐标为

例4（2012·昌平期末）如图4，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图像的顶点坐标为，且在x轴上截得的线段AB的长为6.

（1）求二次函数的解析式；

（2）在y轴上确定一点M，使MA+MC的值最小，求出点M的坐标；

（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在点N，使得以N、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.

图4

【分析】此题第（3）小问，如果假设存在，设出点P的坐标，再利用相似来解计算量大而且含有字母，不容易算到底.我们可以换个思路，作出这样的相似三角形，求出点N的坐标，然后再来判断点N是否在抛物线上，就容易了.由相似可得点N坐标为（-10，，经检验在抛物线上.

例5（2015·德州）已知抛物线y=-mx2+ 4x+2m与x轴交于点A（a，0），B（b，0），且

（1）求抛物线的解析式.

（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由.

（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标.

图5

【分析】第（2）问可用几何作图确定存在，分别作D、E关于y轴、x轴的对称点，两对称点连线与坐标轴的交点就是点M、N，再运用勾股定理可求出线段DE与D′E′的长，就可求出四边形的最小周长，最小周长为

第（3）问有四种情况，根据点D、E坐标可确定点P的纵坐标，再运用解析式求出横坐标.点P坐标为

例6（2013·江宁一模）如图6，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点A、B，它的对称轴是过点（1，0）且与y轴平行的直线，点A的横坐标是-2.

图6

（2）如图7，直线l过点C（2，0）且与y轴平行，现有点P由点A出发沿射线AO以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发，沿直线l向上以每秒1个单位长度的速度运动，设运动的时间为t秒.

图7

①当PQ⊥AQ时，求t的值；

②在二次函数的图像上是否存在点D，使得点P、D、C、Q围成的四边形是平行四边形？若存在求出点D的坐标.

【分析】本题的第（2）问的第②小问考的是平行四边形存在问题.因为点P、Q变化，点D也随着变化，所以可以选择将线段CQ分类.把线段CQ作为平行四边形的边，这是一种情况，可求出两个解；另一种情况是把线段CQ作为平行四边形的对角线，又可求出两个解，共计四个解.平行四边形存在性问题比较常见，首先要会分类，再抓住对边相等，或者根据四边形的对称性求出点的坐标.所以点D坐标分别为（0，-1）、（8，5）、

（作者单位：江苏省宿迁市钟吾国际学校）