巧解方程与不等式中的较难题

金杨建

巧解方程与不等式中的较难题

金杨建

在各地中考试卷中，经常会出现有关一次方程与一次不等式的较难题，这些难题带给我们许多精彩而又巧妙的解法.用这些方法处理这些复杂或难度较大的问题时，会有意想不到的“神奇”效果.

一、求解口诀显身手

在求不等式组的解集时，往往会用到一些基本口诀.“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”.这种口诀对于确定无参数不等式组的解集最为适用，其实对于确定含参数的不等式组的解集也适用.

方法归纳：解决含参数不等式组解集存在性问题往往有两步：第一步，化简不等式组；第二步，利用口诀，结合题意进行判断.因此，掌握求不等式组解集的口诀，对于解决含参数的不等式组解集的相关问题也很实用.但需要熟练掌握口诀，并且注意等号的取舍.

A.a<-36B.a≤-36

C.a>-36D.a≥-36

二、数形结合出奇效

有时，在处理不等式或不等式组解集中整数解个数相关问题时，口诀往往行不通.这时，则需要借助数轴，利用数形结合的方法进行判断.

例2（2015·南通）关于x的不等式xb＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）.

A.-3＜b＜-2B.-3＜b≤-2

C.-3≤b≤-2D.-3≤b＜-2

【解析】解不等式x-b＞0得x＞b，因为不等式有两个负整数解，所以这两个负整数解为-1，-2.故b的值不能太大，否则就不一定含有这两个负数，也不能太小，否则就不止含有这两个负数.这时，可以利用数轴辅助进行判断.因为x＞b，所以在数轴上表示时是空心向右.为了包含两个负整数解-1，-2，空心圈应该在-2与-3之间，这一步我们称为“初定范围”，如图1.

图1

从图中可看出，如果空心圈圈在-2处，解集中仅含有一个负整数解-1，不符合题意，故b不能等于-2；如果空心圈圈在-3处，解集中仍含有两个负整数-1、-2，符合题意，故b可以等于3.所以-3≤b＜-2，这一步我们称为“再定端点”.故选择D.

A.-1≤m<0B.-1

C.-1≤m≤0D.-1

【解析】画出数轴，在数轴上表示出x＜1的解集，如图2.因为不等式组恰好有两个整数解，由图像2知，这两个整数解是0和-1，

图2

故m-1应在-2与-1之间（初定范围）.

如果空心圈在-1处，解集中仅含有一个整数解0，不符合题意，故m-1不能等于-1；如果空心圈在-2处，解集中仍含有两个整数-1、0，符合题意，故m-1可以等于-2.所以-2≤m-1＜-1（再定端点），解得-1≤m<0，故选择A.

A.7＜a≤8B.6＜a≤7

C.7≤a＜8D.7≤a≤8

【解析】本题与变式1类似，先求出不等式组的解集为2＜x＜a，然后根据不等式组的解集中只有5个整数解，画数轴，确定整数解是3，4，5，6，7，最后确定a的取值范围为7＜a≤8，故答案为A.

A.-1≤m<0B.-1

C.-1≤m≤0D.-1

【解析】本题是直接在2015年湖南永州中考卷的试题基础上改编而来，只有一个不等号的差异，解题方法基本相同，但“再定端点”这个环节却有不同.

图3

因为x≥m-1，故在数轴上表示x≥m-1的解集时应用实心点，即这个点所表示的数值取得到.因此-2＜m-1≤-1，解得-1＜m≤0，故答案为B.

【方法归纳】解决不等式或不等式组解集中整数解个数问题时，往往有三步：第一步，解出各不等式；第二步，画出数轴，初定范围；第三步，结合个数，再定端点.定端点时，一定要结合“实心”“空心”围绕整数点个数进行讨论，这样才能准确得到答案.

A.7＜a≤8B.6＜a≤7

C.7≤a＜8D.7≤a≤8

三、整体思想来帮忙

在不等式组或方程组中，经常需要我们根据已知的条件，求一个代数式的值或范围，有时甚至是解一个非常复杂的方程.此时，我们往往不能真的去解出未知数的值或解集，也没有必要去求解.

【解析】两式相加得3a+b=8，直接得到结果！

【解析】当然，本题也可以解出方程组的解（用m表示），再根据x+y＞0建立不等式，求出m的范围，但这种方法计算量较大.

若将②-①×2，可得x+y=m-4，又因为x+ y＞0，所以m＞4.

从上述两题，一眼可得直接法与整体法的优劣，但整体法的思维力度较大.

【解析】新方程组中的x-1相当于原方程组中x，y+1相当于原方程组中y，故即

【方法归纳】“整体思想”是当我们遇到问题时，并不着眼于问题的各个部分，而是将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体与局部之间的内在联系来解决问题的思想方法.这种方法思维量大，但计算量少，可以实现多思少算的目的.同学们不妨试一试下面这个练习：

上述三种方法是处理方程与不等式中难题的基本方法.对于不同的题目应灵活使用，这样才能快速而又准确地得到答案，从而在考场中胜人一筹.

练习参考答案

（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校）