样条有限点法分析旋转变截面Euler梁弯曲自由振动问题

刘鹏 刘红军 林坤 秦荣

摘要：基于EulerBernoulli梁理论，采用样条有限点法建立旋转变截面梁弯曲振动分析新模型.通过沿梁轴线均匀布置一定数量的样条节点对变截面梁样条离散化，采用三次B样条函数对变截面梁的位移场进行插值.考虑截面尺寸变化和旋转离心刚化效应的影响，基于Hamilton原理推导出旋转变截面梁计算模型的总刚度和总质量矩阵表达式，编制程序对旋转变截面梁动力特性进行分析，并建立ANSYS有限元模型进行比较验证.结果表明：本文解答与文献和有限元解答吻合良好，本文模型具有计算精度好、建模效率高、边界条件简单和程序编制方便的优点，可适用于不同边界约束、截面变化率、截面变化类型、旋转角速度和轮毂半径条件下的旋转变截面梁的弯曲自由振动问题.参数分析表明截面变化率和旋转角速度对旋转变截面梁动力特性有重要影响.

关键词：EulerBernoulli梁理论；旋转变截面梁；弯曲自由振动；样条有限点法

中图分类号：TU311.3 文献标识码：A

旋转变截面梁结构，如风力机叶片、直升机螺旋桨等，在机械和航空航天工程中应用广泛，其分析模型可等效为变截面梁的绕轴旋转运动.而梁的绕轴旋转运动产生离心刚化效应，对旋转变截面梁的动力特性产生重要影响，有必要对其动力特性进行深入研究.对于变截面细长梁的弯曲振动问题，可以忽略截面剪切变形和转动惯量效应的影响，采用EulerBernoulli梁理论（EBT）建立模型进行分析[1].

湖南大学学报（自然科学版）2016年

第9期刘鹏等：样条有限点法分析旋转变截面Euler梁弯曲自由振动问题

旋转变截面梁弯曲自由振动分析需要考虑梁的截面特性（面积、惯性矩）变化和绕轴转动产生的离心力变化对梁的动力特性的影响，导致求解变截面Euler梁振动微分方程趋于复杂，且难于获得解析解，必须借助数值分析方法.国内外学者针对变截面梁振动问题开展了大量的数值分析方法研究.

Shahba等[1]基于微分变换单元法（DTEM）和微分低阶求积法（DEQL）建立轴向功能梯度变截面Euler梁的振动分析模型，主要研究截面变化率参数等对轴向功能梯度变截面梁的动力特性和临界荷载的影响.Ozgumus等[2-3]基于微分变换法（DTM）建立旋转截面Euler梁的振动分析模型.Rajasekaran[4]基于DTM和微分求积单元法（DQEM）建立旋转轴向功能梯度变截面Euler梁的振动分析模型，文中作者分析截面变化率、轴向功能梯度指数和旋转角速度及端部集中质量等参数对旋转变截面轴向功能梁自振频率的影响.Zarrinzadeh等[5]和Attarnejad等[6]基于有限单元法（FEM）建立旋转变截面Euler梁的振动分析模型，文中作者提出一个新插值函数对旋转变截面梁的位移场进行插值，该模型具有一定的计算精度，但在较高截面变化率情况下，需划分较多结构单元，建模和计算效率均下降明显.Banerjee等[7-8]基于谱单元法（或称动态刚度法）建立旋转变截面Euler梁的分析模型，该方法与传统有限元方法相比，需要更少的单元且可以获得较高计算精度，但建模比较复杂.其他学者采用有限差分法[9]、摄动法[10]和其他数值方法[11-13]建立模型分析旋转或非旋转变截面和等截面梁的自由振动及稳定问题.

广西大学秦荣[14-15]于1979年提出用于结构分析的样条有限点法（SFPM），研究表明SFPM具有不需划分结构单元，边界处理方便，计算精度和效率较高等优点，可对梁、板壳等结构进行分析[16-17].

对旋转变截面Euler梁的弯曲振动问题， 并未见有文献采用SFPM进行建模分析.基于Euler梁理论，本文作者首次采用SFPM建立旋转变截面Euler梁的弯曲振动分析模型，针对不同截面高、宽度变化率的变截面矩形截面梁，考虑旋转动力刚化效应的影响，推导出本文旋转变截面Euler梁的SFPM模型的总刚度和总质量矩阵的表达式.编制计算程序进行算例分析，并验证本文模型正确性.研究样条节点个数对计算精度的影响.分析截面尺寸变化参数、旋转角速度参数、轮毂半径参数等对旋转变截面梁动力特性的影响，得到一些结论.

4 结论

本文建立旋转变截面Euler梁振动分析的SFPM计算格式并进行动力特性分析.

1）基于SFPM推导出旋转变截面Euler梁的振动分析模型，模型考虑矩形变截面梁截面高宽度沿轴向线性变化情况，推导考虑截面尺寸变化效应和绕轴旋转产生的离心刚化效应影响下的旋转变截面梁的结构总刚度矩阵和总质量矩阵表达式，并编制相关计算程序进行模型验证分析.

2）与有限元模型相比较，本文模型具有边界条件简单、程序编制方便、计算精度和效率高的优点，可适用于不同边界、不同截面变化率、不同旋转角速度和轮毂半径条件下的旋转变截面Euler梁的振动分析.

3）旋转变截面梁的动力特性主要受到截面变化系数和旋转角速度的影响，轮毂半径变化对其特性影响不大.

参考文献

[1]SHAHBA A， RAJASEKARAN S. Free vibration and stability of tapered EulerBernoulli beams made of axially functionally graded materials[J]. Applied Mathematical Modeling， 2012，36（7）：3094-3111.

[2]OZGUMUS O O， KAYA M O. Flapwise bending vibration analysis of a rotating tapered cantilever BernoulliEuler beam by differential transform method[J]. Journal of Sound and Vibration， 2006，289（1）：413-420.