扩展酉矩阵束算法实现稀疏可重构天线阵的优化设计

沈海鸥， 王布宏

空军工程大学 信息与导航学院， 西安 710077

扩展酉矩阵束算法实现稀疏可重构天线阵的优化设计

沈海鸥， 王布宏*

空军工程大学 信息与导航学院， 西安 710077

针对方向图可重构天线阵列的稀疏布阵问题，提出一种基于扩展酉矩阵束算法的优化设计算法。首先建立以阵元位置和多组激励为变量的多方向图联合稀疏优化模型，并利用期望方向图采样数据构建Hankel块矩阵。然后通过centro-Hermitian化处理和酉变换将采样矩阵从复数域转换到实数域，舍弃实矩阵中较小的奇异值对可重构线阵进行稀疏。最后通过对等价矩阵束的广义特征值分解估计稀布阵元位置，进而得到每个方向图对应的激励。仿真验证了该方法能够以阵元非均匀稀疏分布的阵列形式有效实现多个方向图的精确重构。

阵列信号处理； 稀疏阵列； 方向图可重构天线； 扩展酉矩阵束； 特征值分解

伴随综合电子战系统的日益发展，为满足通信、导航、电子对抗等功能集成的需求，天线的数量和复杂程度大幅增加，利用尽可能少的天线实现多个不同的功能成为亟待解决的技术难题[1-2]。作为多功能阵列天线实现的关键技术基础，方向图可重构阵列天线受到广泛关注[3-4]，它利用一个天线阵列，根据实际的应用需求实时动态地重构天线方向图，通过方向图的切换以实现原先由多个天线阵列完成的多功能、多任务[5-6]。这样可以有效节省平台空间、降低系统的整体成本，同时与多个任务需要多个天线实现，每个天线对应单个独立任务的天线系统相比，由于所用天线单元数量的减少，还可以一定程度地减少雷达散射截面，以及避免存在于多个天线之间的电磁兼容问题[7]。可重构天线作为一种新的天线形式，之所以能够实现天线参数的重构以及不同工作模式的切换，其本质是通过改变天线的电流分布实现的。具体实现方法大致分为改变天线单元的内在结构和改变天线外部的馈电网络两类。第一种方式会增加天线单元的设计难度，不适合辐射体较小的情况[8]。而改变馈电结构的方式是通过对馈电激励源本身参数的改变来实现方向图重构，不需要对天线单元单独设计，成本较低、更易实现，近些年国内外学者对此进行了相关研究[5-10]。

文献[5-6]仅通过改变均匀阵列天线的馈电相位实现阵列方向图的控制，简化了馈电系统，但其自由度较小。文献[9-10]利用优化算法对阵元等间隔布置的阵列天线馈电激励进行控制以实现方向图可重构。相比于等间隔均匀布阵的方式，非均匀稀疏阵列天线在减少阵元个数，提高孔径利用率、抑制互耦等方面具有明显优势，它在单个天线阵列设计中得到了很好的应用。文献[11-14]通过优化稀布阵列的位置和激励，能够以较少的阵元个数获得期望的方向图性能，然而这些稀疏优化布阵方法很难直接应用到方向图可重构的阵列天线中，这是因为由不同方向图求解得到的最优稀疏阵元位置不同，很有可能导致阵元间距过小而无法布阵。刘颜回等在文献[13-14]的基础上，将矩阵束方法扩展到稀疏可重构阵列的设计中，通过激励的改变实现不同的方向图性能。然而由于该方法涉及的矩阵运算均在复数域进行，求得的阵元位置可能为复数，对阵元位置的近似处理不能有效保证方向图的拟合精度。

因此，如何在同一天线孔径上，选择少于均匀布阵所需的阵元个数，通过改变阵元的馈电激励以实现不同方向图的重构，是本文重点研究的内容。这需要实现多个方向图位置和激励的联合求解，并且使不同方向图共享相同的稀疏阵元位置，仅通过改变馈电激励以实现不同方向图的切换。本文提出一种有效求解上述问题的扩展酉矩阵束(Extended Unitary Matrix Pencil,EUMP)算法，在建立多方向图联合稀疏优化模型的基础上，由方向图采样数据及其共轭构建centro-Hermitian矩阵，并利用酉变换将该复矩阵转化为实矩阵，舍弃实矩阵中较小的奇异值来减少可重构线阵的阵元数目，最后根据等价矩阵束的广义特征值分解和总体最小二乘准则得到稀布阵列的一组阵元位置和多组激励。由于奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)和特征值分解(Eigenvalue Decomposition, EVD)的计算均在实数域进行，并可以直接得到阵元位置的实数解，该算法具有计算复杂度低和方向图拟合度高的优势，利用少量阵元即可重构出不同方向图。

1 EUMP实现稀疏可重构天线阵

1.1 多方向图联合稀疏优化模型

假设均匀方向图可重构线阵由N个全向阵元组成，通过改变馈电激励可得阵列天线的M种工作模式，即重构出M种不同的期望方向图。阵因子可表示为

(1)

稀疏方向图可重构线阵通过对阵元位置和激励的联合优化求解，得到非均匀稀疏分布的单元位置及M组阵元激励，采用尽可能少的阵元数Q即可实现M个期望方向图的切换，其模型可表示为[15]

(2)

1.2 算法描述

以uk=kΔ=k/K(k=-K,-K+1,…,0,…,K)为采样点在-1到1间对阵因子进行P=2K+1点等间隔均匀采样，可得

(3)

[Ze]D×E=[Z(1)Z(2)…Z(M)]

(4)

(5)

式中：D=L+1，E=M(P-L)，束参数L满足N≤L≤P-N。那么，极点rn(n=1,2,…,N)是矩阵束(Z2,Z1)的广义特征值[16]，即

(6)

为了降低矩阵运算复杂度，考虑对Hankel块矩阵Ze实数化处理，由于酉变换能够将centro-Hermitian复矩阵转变为实矩阵，因其在减少计算量方面的优势而被用于高分辨的子空间类方法中[17-18]。因此，利用酉变换求解包含方向图采样信息的实矩阵，首先需要根据采样矩阵Ze构造具有centro-Hermitian特性的矩阵Zc，使其满足[19]：

(7)

式中：上标*表示共轭运算，ΠD为D阶单位反对角置换矩阵，即

(8)

那么，对于复矩阵Ze，根据其共轭及单位反对角置换矩阵，相应的centro-Hermitian矩阵Zc可表示为

(9)

对Zc进行酉变换[20]，可得实矩阵Zr为

(10)

式中：YD为D阶酉矩阵，且有

YD=

(11)

J2Zc=rnJ1Zc

(12)

式中：

(13)

(14)

将式(10)代入，式(14)可简化为

(15)

根据酉矩阵和单位反对角置换矩阵的性质，式(15)左边等效为

(16)

结合式(15)和式(16)，有

(17)

[Re(X)-jIm(X)]Zr=

[Re(rn)+jIm(rn)][Re(X)+jIm(X)]Zr

(18)

由于Re(rn)=cos(k0dnΔ)，Im(rn)=sin(k0dnΔ)，移项可得

-tan(k0dnΔ/2)Re(X)Zr=Im(X)Zr

(19)

因此，-tan(k0dnΔ/2)(n=1,2,…,N)为矩阵束(Im(X)Zr,Re(X)Zr)的广义特征值。为了减少阵元数目，对实矩阵Zr奇异值分解：

(20)

式中：I=min{D,2E}，U=[u1u2…uI]和V=[v1v2…vI]分别为左奇异向量矩阵和右奇异向量矩阵，Σ=diag(σ1,σ2,…,σN,…,σI)为对角矩阵，σ1≥σ2≥…≥σI。N元均匀线阵包含N个非零奇异值，有σi=0(i>N)，但通常只需要更少的非零奇异值就能得到Zr的低阶逼近矩阵，该矩阵包含阵元个数少于N的稀布线阵的方向图重构数据，即通过舍弃Σ中较小的奇异值以实现阵列的稀疏优化布阵。因此，-tan(k0dqΔ/2)(q=1,2,…,Q)是矩阵束(Im(X)UL,Re(X)UL)的广义特征值yq：

{Im(X)UL-yqRe(X)UL}⟹

{[Re(X)UL]†[Im(X)UL]-yqI}

(21)

W=(RHR)-1RHF=

(22)

式中：

(23)

1.3 实现步骤

EUMP利用酉变换将复数域的SVD和EVD问题的求解分别等效为实矩阵的SVD和等价实矩阵束的EVD，计算量减少约3/4。通过分析EUMP主要步骤的实数乘法运算次数可大致估计算法的计算量，该算法共需要(D2E+5D3+1.5Q2D+5Q3+ 1.5Q2P+QPM)次乘法，其计算复杂度主要由SVD的计算量决定。下面给出该算法实现方向图可重构稀疏线阵的具体步骤：

步骤1构造实值方向图采样矩阵。由M种期望方向图的采样数据计算扩展复矩阵Ze，并根据centro-Hermitian处理合成复矩阵Zc，再通过酉变换求解实数据矩阵Zr。

步骤2奇异值分解。对实矩阵Zr奇异值分解，保留Q个较大的奇异值以得到相应的左奇异向量矩阵UL。

步骤5性能评估。根据式(26)计算重构方向图与期望方向图的归一化匹配误差：

(24)

2 仿真结果及分析

基于多方向图联合稀疏优化模型，以N=30的均匀可重构线阵可实现的3种典型波束形状(笔形波束、平顶波束[22]、余割波束[22])为3个期望方向图进行仿真实验(CPU3.40 GHz，3.46 GB RAM，Matlab2012b)。由于本文算法通过减少实值方向图采样矩阵奇异值的个数对阵列进行稀疏，综合考虑稀疏率和方向图拟合程度的要求，奇异值个数(阵元个数)Q在22～24间取值，可保证可重构线阵的稀疏率在73%～80%的条件下，重构方向图与期望方向图归一化匹配误差ξ在1×10-5到1×10-3之间。

2.1 束参数的选择

为了研究ξ关于束参数L的变化趋势，进行如下仿真。以Q=23为例，对于不同K值，ξ与L的关系如图1所示。由于L的取值满足N≤L≤2K+1-N，在仿真中取K=xN(x=1.5,2.0,2.5,3.0)，则有30≤L≤30 (2x-1)+1。从图1中可以看出，4条曲线的变化趋势大致相同，ξ分别在L=61,91,114,137时取得最小值8.537 7×10-5,5.547 8×10-5,5.388 8×10-5,5.315 7×10-5。以K=(2,3)N为例，对于不同Q值，ξ与L的关系如图2所示，由图可知，相同的参数设置(同K,L)，阵元个数越多，方向图拟合程度越高，图中标出了不同条件下ξ的最小值点。

图1 不同K值下归一化误差ξ关于束参数L的变化趋势Fig.1 Behaviors of ξ versus L with different K values

图2 不同Q值下归一化误差ξ关于束参数L的变化趋势Fig.2 Behaviors of ξ versus L with different Q values

2.2 有效性验证

为了验证算法实现方向图可重构稀疏线阵的有效性，以K=2N为例，分别取Q=23，L=91和Q=22，L=88进行仿真。图3(a)和图3(b)分别给出了不同阵元个数u下重构方向图与期望方向图的比较，从图中可以看出，相比于均匀可重构线阵所需的30个阵元，本文算法节省约25%的阵元个数即可有效控制波束形状，能够重构出与均匀线阵3种期望方向图性能近似一致的波束方向图，ξ分别为5.547 8×10-5和1.049 0×10-3。分段截取方向图曲线的不同区间进行观察，如图4(a)和4(b)所示，从图中可以看出，对于Q=23的情况，本文算法在主瓣赋形区波束形状和旁瓣电平均能满足要求的前提下，通过改变阵元激励就能够得到3种与期望方向图形状保持一致的波束方向图，可以实现与期望波束的高精度拟合。对于Q=22的情况，本文算法在主瓣赋形区能够与期望波束匹配，但其旁瓣电平有所升高，对于精确赋形要求较高的应用场合，可以通过增加阵元个数来提高方向图拟合程度。不同阵元个数时，可重构线阵的阵元位置及相应激励见表1。

为了验证算法在重构方向图拟合精度及计算时间方面的优越性，采用文献[15]算法对上述均匀可重构线阵进行稀疏，取Q=22，比较两种算法在相同稀疏率条件下的方向图性能，具体结果如表2所示，可以看出，本文提出的EUMP算法具有更小的方向图匹配误差，计算时间大约为文献[15]算法的1/4，这是因为本文算法采用的酉变换将主要的矩阵运算从复数域转换到实数域，能够直接得到阵元位置的实数解，提高了方向图拟合精度，同时复矩阵运算变为实矩阵运算也导致了计算量的减少。图5和图6给出了文献[15]算法重构方向图与期望方向图的比较，由图可知，该算法可以在保证一定稀疏率的条件下获得与均匀线阵相一致的主瓣波束，但旁瓣电平明显增加，旁瓣区域的方向图有较大偏差。

图3 Q=23 and 22时稀疏可重构线阵的方向图Fig.3 Power patterns radiated by the sparse reconfigurable arrays for Q=23 and 22

图4 Q=23 and 22时稀疏可重构线阵方向图的分段截图Fig.4 Partitioned view of power patterns radiated by the sparse reconfigurable arrays for Q=23 and 22

表1 可重构线阵的阵元位置和相应激励Table 1 Element positions and excitations radiated by the uniform and the sparse reconfigurable arrays

表2 两种算法性能的比较Table 2 Performance comparisons of two algorithms

图5 Q=22时稀疏可重构线阵的方向图[15]Fig.5 Power patterns radiated by the sparse reconfigurable arrays in Ref.[15] for Q=22

图6 Q=22时稀疏可重构线阵方向图[15]的分段截图Fig.6 Partitioned view of power patterns radiated by the sparse reconfigurable arrays in Ref.[15] for Q=22

2.3 敏感性分析

为了分析算法的敏感性，对馈电信号进行幅相干扰，研究存在馈电偏差情况下可重构阵列的方向图性能。以本文算法得到的阵元数为23的稀疏可重构线阵为例，对理想阵元激励的幅度和相位(如表1所示)随机扰动，进行500次Monte-Carlo仿真。图7分别给出了方向图归一化误差随幅相扰动范围的变化曲线。由图可知，该算法可以容忍一定程度的馈电幅相误差，但随着馈电偏差的增大，算法的性能有所损失。为了保证重构方向图与期望方向图较高的拟合精度(ξ<2×10-3)，当馈电信号的幅度偏差小于理想幅度的±12%，相位偏差小于理想相位的±5%时，该算法可以满足应用要求。图8给出了馈电幅度偏差为±5%条件下稀疏可重构线阵的3种方向图，从图中可以看出，笔形方向图与其期望方向图最接近，而余割方向图与期望方向图的拟合程度较差，也就是说，余割方向图对于馈电偏差更敏感，该方向图的精确赋形对馈电激励的准确性有更高的要求。

图7 不同幅相扰动下的方向图归一化误差 Fig.7 Normalized error under different amplitude perturbation and phase perturbation

图8 存在馈电偏差时的笔形方向图、平顶方向图以及余割方向图 Fig.8 Pencil pattern, flat-top pattern and cosecant pattern with feeding perturbation

3 结 论

1) 建立以阵元位置和多组激励为变量的多方向图联合稀疏优化模型，通过共享相同的稀疏阵元位置，改变每个阵元的馈电激励以实现不同方向图的重构。相比于等间距的均匀可重构阵列，该稀疏可重构阵列模型在减少阵元个数及抑制互耦等方面具有优势。

2) 提出一种有效求解多方向图联合稀疏优化模型的扩展酉矩阵束算法。酉变换的引入保证得到的阵元位置为实数，有效避免了复数解引入的近似处理问题；且奇异值分解和特征值分解均在实数域进行，计算量较小。因此，该方法具有计算复杂度低和方向图拟合度高的特点。

3) 仿真实验表明该方法能够以阵元非均匀稀疏分布的阵列形式有效实现多个方向图的精确重构。

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Extendedunitarymatrixpencilalgorithmforoptimaldesignofsparsereconfigurableantennaarrays

SHENHaiou,WANGBuhong*

InformationandNavigationCollege,AirForceEngineeringUniversity,Xian710077,China

Aninnovativemethod,extendedunitarymatrixpencil(EUMP)algorithm,isproposedfortheoptimaldesignofsparsereconfigurableantennaarrays.Thejointsparseoptimizationmodelisestablishedwithelementpositionsandexcitationsasthedesignvariables,andanextendedblock-Hankelmatrixcanbeconstructedaccordingtosampledataofthedesiredpattern.Thenthroughcentro-Hermitianmatrixandunitarytransformation,thiscomplex-valuedsamplematrixcanbetransformedintoreal-valuedone,ofwhichsmallersingularvaluesarediscardedtoreducethenumberofantennaelements.Thegeneralizedeigenvaluesofequivalentmatrixpencilareexploitedtoestimatethesparsearrayelementpositionsandtheircorrespondingexcitationsaccurately.Simulationresultsvalidatethatmultiple-patternscanbereconfiguredwithnon-uniformarrangementsbythisalgorithmefficiently.

arraysignalprocessing;sparsearray;patternreconfigurableantenna;extendedunitarymatrixpencil(EUMP)method;eigenvaluedecomposition

2015-12-21；Revised2016-03-29；Accepted2016-06-14；Publishedonline2016-06-201341

2015-12-21；退修日期2016-03-29；录用日期2016-06-14； < class="emphasis_bold">网络出版时间

时间：2016-06-201341

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160620.1341.002.html

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沈海鸥， 王布宏. 扩展酉矩阵束算法实现稀疏可重构天线阵的优化设计J． 航空学报,2016,37(12):3811-3820.SHENHO，WANGBH.ExtendedunitarymatrixpencilalgorithmforoptimaldesignofsparsereconfigurableantennaarraysJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2016,37(12):3811-3820.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0191

V219； TN820

A

1000-6893(2016)12-3811-10

沈海鸥女， 博士研究生。主要研究方向： 阵列信号处理、 雷达信号处理。Tel.: 029-84791772E-mail: haioushen1990@sina.com

王布宏男， 博士， 教授， 博士生导师。主要研究方向： 阵列信号处理、 阵列误差校正。Tel.: 029-84791762E-mail: wbhyl@aliyun.com

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*Correspondingauthor.Tel.：029-84791762E-mailwbhyl@aliyun.com