循序渐进，以APOS理论为指导建构小学生数学思维

祖广金

摘 要：APOS理论是基于数学概念学习的教学模式，它强调学生的心理建构过程，这对于我们开展数学概念学习，发展学生实践应用能力有着积极的推动作用。本文正是从这一理论出发，就如何以循序渐进的教学方式强化学生们的概念学习，提高学生们的思维能力，展开了如下探究，并从活动激趣、概念导入、练习巩固三个角度，谈了几点教学浅见。

关键词：小学数学；APOS教学理论；课堂教学；思维建构

APOS是由美国人杜宾斯等率先提出的数学概念学习理论，是近年来盛行的新型教学模式，对于数学概念的深入理解与外延拓展有着极强的指导意义，是我们开展概念学习的一盏明灯。它强调了教师引导学生主动建构并在知识体系框架梳理下形成多种数学思维。这一模式包括以下四个步骤：action（操作活动）、processes（建构过程）、object（对象阶段）、schemes（图式架构），四个步骤深入浅出，层层递进，不仅有利于学生的概念学习，而且在学生形成数学思维的过程中缺一不可。活动阶段，即让学生在数学活动与实验操作中对所学知识点建立初步的感性认知；建构阶段，即由学生从活动结果中形成抽象思维，对数学概念有一定的概况与理解；对象阶段，即学生可以凭借前述阶段累积的理解进行独立运算；最后一步的图式架构，即是学生在脑海中对知识体系有了记忆框架。每一个步骤不仅可以作为教师教学设计的指南，更是从根本上颠覆了学生被动学习的局面，奠定了他们在课堂学习中的主导地位，进而提升课堂学习的成效。笔者尝试从这一理论出发，以APOS指导我们日常的概念学习，并从活动激趣、概念导入、练习巩固这三个角度提出了自己的几点教学主张。希望借助APOS理论这股“东风”，化繁为简，降低概念学习的难度，帮助学生们经历概念建构的过程，有效培养他们的概念思维，强化他们理解、深化、应用概念知识的数学学习能力。

一、活动激趣，点燃学生思维火花

APOS理论的第一阶段是指通过活动激起学生学习的兴趣，这里“action”不仅是对教师教学设计活跃度的要求，也是对学生积极参与课堂话题构建与活动安排的步骤。我们往往将这一步骤运用于课前导入阶段，充分吊足学生的胃口，利用他们强烈的好奇心在脑海中建立对新知的印象，进而产生求知的渴望，提高他们主动学习的积极性。以下我们以苏教版小学数学五年级上册第一单元《认识负数》之第一课《认识负数的意义》的课前导入教学设计为例，阐述如何利用“action”这一步骤活跃学生思维。

一上课，我询问了学生当天本地的气温是几度，学生已经熟练掌握自然数，说出并上台书写温度是对旧知识的一个回顾。随后，我利用多媒体设备展示了2015年12月哈尔滨的气温图表，图表上呈现的数字和学生当时写在黑板上的温度稍有不同，这时我向学生提了三个问题：1. 请大家观察黑板上的数字和多媒体设备上的数字，它们的差别是什么？2. 哈尔滨12月的气候是不是非常冷？3. 哈尔滨12月的温度是用负数来表示的，那么大家想知道什么是负数吗？当这三个问题抛出时，学生产生了更多的疑问，有学生提问：“是不是冷得下雪的温度就是负数？”“负数比我们以前学的数字多了一个像减号一样的符号，是不是这就是负数的标志？”……当思路完全打开后，学生将“寒冷、下雪”与“负数”联想到一起，主动串联以往学习的知识，并在课前情境创设中确定自己本堂课渴望解决的问题和想学习的知识方向，如此便完成了“action”的步骤，成功激发了学生求知的欲望。

二、概念导入，缕清学生思维脉络

让学生背诵一个数学概念并非难事，像前文提及的“负数”，让学生知道它的定义就是比0小的数，这是非常简单的，但是在APOS理论的第二阶段，我们就是要通过一系列的教学设计深化数学概念，让学生不仅知道概念，还能通过概念知道其意义所在，并在知识框架的搭建中逐渐建立对知识的理解体系。这一步骤一般运用于课堂呈现的环节，我们通常会花大部分时间在此夯实学生的知识建构。

同样也以苏教版小学数学五年级上册第一单元《认识负数》为例，在课前导入阶段学生已经对学习负数有了一定的期盼，那么在这一阶段，我们主要解决以下三个问题：1. 负数存在的意义是什么？2. 负数和正数的区别和关系是什么？3. 负数在生活中主要运用到哪些地方？如果学生能在后续的学习中回答出这三个问题的答案，便可以确保他们对负数这一知识点的概念已经有了一定的框架搭建。

首先，为了加深学生对负数存在意义的感受，我们再次播放了天气预报，尽管这是第二次出现，但学生的热情依然不减，他们很好奇-3℃应该怎么读，好奇到底是-3℃还是-13℃比较冷……他们产生疑问，说明他们已经融入了求知情境，也在不知不觉中感受到，当我们在表示寒冷的天气时，负数的出现能准确地表达“冷”的含义；然后，当我们再一次将2015年12月哈尔滨的气温图表与2015年12月海南的气温图表同时放在一起时，学生通过自己的生活常识进行了判断：正数是“热”，负数是“冷”。尽管这样的理解有些片面，但我们通过对北京1℃与哈尔滨-13℃的对比，学生逐渐分清正数与负数的关系，即它们是相反的量。最后一个步骤也是巩固学生对概念理解的一个重要环节，即对负数在生活中的运用进行举例。一开始学生只能想到温度和海拔，后来，当我们不断强化“正数和负数是相反的量”这一概念时，学生列举出收入与支出、楼上和楼下、向左和向右、向前和向后等一系列相反的概念，并尝试用正、负数进行表示，譬如以一楼为基准，上到二楼就是+1，下到地下室就是-1。学生举的例子完全超乎我的想象，这就是他们内化概念的过程，同时也在知识的梳理中再次强化对概念的理解与运用。

三、练习巩固，夯实学生思想基石

第三个步骤是object（对象阶段），第四个步骤是schemes（图式架构），我们之所以放在一起讲，并不是否认了它们各自的重要性，而是因为它们联系紧密、不可分割。对象阶段是“学而时习之”的过程，新课标并不代表否定练习题与课后作业的意义，它们的存在同样决定了学生对知识的巩固程度，当然我们也应当丰富练习的方式，而不仅限于机械地抄写与识记。最后的步骤是指学生对本课知识结构的建设，进而将知识转化为常识，避免了课后即刻遗忘。在概念的学习与建构中，我们不仅要在“教”的呈现上夺人眼球，先发制人，还要在学生的理解与内化上加以探究，通过丰富而有效的练习，帮助学生在具体的“做”中巩固概念，消化概念，把抽象化的概念知识转化为更加具体形象的知识应用。

前文我们提到了进行action和processes对课堂知识进行导入和呈现，大部分学生已经成功地在这两个步骤中对“负数”有了明确的认知，也清楚它与正数的关系及其在生活中的运用。那么在第三个环节中，我们在课堂上进行了一个小游戏，在游戏中做练习。首先，我让学生各自用一张纸写上一个数字，可以是-10至10以内的整数，当我喊出“比0大的数字”时，写的是正数的学生全部举起双手，写负数的同时蹲下，如果有人出错便被淘汰。游戏看似简单，但随着概念的不断变化与速度的加快，逐渐有学生出局，学生们在错误中发现了自己认识的不足，也在概念的不断重复中进一步加深了印象。

图式架构我们通常放在课堂的回顾环节，也就是练习之后，这样我与学生有个交流的时间，可以谈谈今天学到了什么，什么难题还需要老师的帮助……同时，我们会根据第三个步骤——练习中出现的问题进行自评、互评和师评，让每一个学生都能在自由开放的氛围下完善自己的知识体系，而不因任何一个环节的缺漏而出现知识的断层。

总之，概念学习并不是一只“猛虎野兽”，在实际教学中，我们要善于化抽象为具体，消除学生们的学习负担，让学生在经历知识形成的过程中正确认识概念、理解概念、应用概念，这也是我们导入APOS理论的教学初衷。此外，我们在利用APOS理论指导教学时还应避免一个误区——APOS理论并不是所有数学课都适用，可一旦我们在课程中贯穿了四个步骤，就要按照思路进行灵活调整，充分发挥学生的积极性，不拘泥于顺序与条框。