从分散建模走向整体建模

张卫星

2015年9月，我参加了浙江省信息技术应用提升工程培训，选择的项目是小学数学交互式教学的初级水平。根据要求，我校至少要有一位数学教师拍摄40分钟的教学视频。由于我调到白塔二小担任分管教学副校长不足三个月，为了营造教研氛围，我决定承担40分钟的教学视频这一任务。选什么内容呢？我思索了好几天，最后确定执教人教版五年级上册的《植树问题》第一课时。

《植树问题》我在2008年11月就上过。当初我是采用分散建模教学的，在教学时做了两个处理：一是对教学内容进行了简化。关于一条线段的植树问题有三种情形，但我为了突出基本模型的构建，只教学了一种情形——两端都种。这样，学生就有了足够的时间和空间进行建模体验。二是充实建模过程。为了让学生真正理解植树问题的基本模型，我把建模过程分成八小步进行，即：创设原型，理解间隔与间隔数；解读问题中蕴含的数学信息；教师模拟栽树；学生第一次利用泡沫和牙签模拟栽树；学生利用画线段图的方式第二次模拟栽树；学生第三次模拟栽树；信息汇总，植树问题基本模型水到渠成；解释植树模型中“1”的含义。

七年后重新执教这一课，我不可能重走老路。七年前我也曾想过用整体建模来教学这一课，但自己说服不了自己，最终选择了分散建模。七年后，我的经历更加丰富，理应给自己一个挑战。于是，我决定用整体建模的策略演绎这一课。

一、纸上谈兵——预设整体建模思路

整体思路已定，如何展开？我又陷入了沉思。如果在一节课内同时构建植树问题的三种基本模型，肯定要创设一个集中的探究平台。而要让这个探究平台有效，只能选择一种模拟植树的方法，否则时间无法保证。经再三斟酌，决定采用画线段图的方式进行模拟植树。而要让学生经历画线段图的模拟过程，又必须要解决间隔、间隔数、棵数等基本概念，还要让学生事先感受三种植树类型的特征。经过这样一个层次一个层次的推考，整体建模的思路就理顺了。

二、牛刀小试——检验预设是否可行

事先预设思路是否可行，终究要经过课堂检验。于是，第一次试教便开始了。当教学进行到学生画线段图探索三种植树规律时，却发现很多学生的思维出现混乱，找到的植树规律偏差较大。这样一来，笔者只能一个模型一个模型轮流着导过去，结果得出三个模型后，下课铃就响了。

事先我已经引导学生解读过棵数、间隔数，也示范过画线段图，为什么还会出现这样的结果呢？我百思不得其解，只得私下向几个学生进行了解，原因渐渐明朗，经梳理主要有两个：一个是学生不知道如何画线段图，不知道该画几个间隔。另一个是学生不知道在一端栽一端不栽和两端不栽的情况下，棵数和间隔数如何确定。

既然找到原因，就要想办法去破解。针对第一个原因，我专门做了一张动态模拟画线段图的幻灯片，到时让学生模仿着画。针对第二个问题，我在教学植树三种情况时，就让学生亲身经历数间隔数和棵数的过程，让学生明白其中的奥秘。可见，实践是检验真理的手段！只有经过实践，才能知道问题出在哪里，才能找到补救的措施。

三、真枪实弹——正式拍摄教学视频

由于时间紧，任务重，一次试教后，正式教学视频拍摄便开始了。课前忐忑不安，课后却成功满满，我不得不为自己点个赞。其中最引以为自豪的是如下这一幕：

在学生厘清了植树类型及经历了模拟植树后，我及时抛出任务：同学们在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵，有几种栽法？请在表格内用线段图表示出来，同时完成表格其他任务。接着，我又提出四个要求：1.先想一想要画几个间隔才是20米；2.每个间隔尽量一样长；3.独立完成后小组交流；4.线段图要求用直尺画。

学生都开始动起来了，认认真真地画线段图并努力思考相关任务，不到5分钟就有学生完成了任务。不一会儿，教室便由静转动，大家争着要发言。

于是，我把一位小脸发红、眼睛发亮的小女生的作品放到展台上，轻轻地问道：“你画的全长是20米吗？”这位小女生斩钉截铁地说：“是呀！一个间隔5米，我画了4个间隔，就是20米。”我假装怀疑，不相信地说：“好像不对，你上来数数看！”这位小女生快速走上来，面对全体学生，边指边说：“1个间隔；2个间隔；3个间隔；4个间隔。1个间隔5米，4个间隔就是20米。”我微笑着点了点头，小女孩一脸自豪，同学们也报以热烈的掌声。 “你画的第一条线段图属于哪一种类型？”我趁势问道。这位小女生响亮地说：“两端都有一棵树，属于两端都栽！”“那么里面有几棵树？几个间隔？”我继续追问。这位小女生不慌不忙地说：“里面有5棵树，4个间隔。”“棵树和间隔树之间又有什么关系？”我又迫不及待地追问。小女孩自信满满地说：“棵树=间隔数+1。”至此，我不得不说：“感谢你的精彩回答！相信你以后定能成为数学明星！大家掌声鼓励！”旋即，教室里的掌声此起彼伏。

“那第二条线段图属于哪种类型？棵树和间隔树之间又有什么关系？谁来回答？”我趁势继续问道，并把问题简化了。学生抢着回答：“第二条线段属于两端不栽，棵树=间隔数-1。”

“那栽法3有什么特点？”我继续补问，问题进一步简化。学生有条理地回答：“栽法3是一端栽一端不栽，棵数=间隔数。”

接着，我又和学生一起验证这三个模型，结果准确无误。

最后，课件呈现如下内容：

四、及时反思——分析建模成功原因

为什么学生能够这样有效地整体建构出这三个模型呢？其实，经过第一次试教后，我重新调整了对策。我有意识地让学生经历三个阶段模拟植树的过程。第一阶段是教师模拟。教学伊始，我的第一次模拟植树形象地展示出植树的全过程，让学生直观地认识间隔及间隔数。我的第二次模拟重在让学生认识植树的类型及特点。我的第三次模拟重在让学生学会如何用画线段图的方式模拟植树，为下面学生的模拟做好准备。第二阶段是学生模拟。由于有前三次的示范，学生基本上能完成模拟任务。在模拟的基础上，学生自主提炼出三个植树模型。这样的模型，学生记忆特别深刻。第三阶段是模拟验证。学生提炼出的模型是着眼于一种情况的，能否通用必须要经历验证的过程。为此，我在学生得出模型后，借助课件和学生一起验证这三种模型。经历验证后，学生对这三个模型就深信不疑。可见，整体建模前需要做足功课。

与前一次相比，这次教学主要有如下三个改变：

一是教学策略的改变。前一次的教学策略是分散建模，主要建构一个模型，后一次教学的策略是整体建模，也就是说在第一节课整体建构三种植树模型。事实表明，在教师的引导下同时建构三种模型，学生能够领悟，而且对植树类型及相应的模型印象深刻。

二是探究内容的改变。前一次教学主要探究两端都栽的情况下，路长、植树棵数、间隔长度和间隔数之间的关系。而后一次教学却探究三种类型的植树情况下，路长、植树棵数、间隔长度和间隔数之间的关系。因此，用线段图画出相应类型的植树模型是后一次教学的难点所在。由于有事先的示范模拟，学生基本能画出。特别是探究表格的设计，让学生的探究思路更加清晰。同时，为了让学生相信自己得出的三个模型，我教学时还安排了一个交互式的验证环节，让学生对自己的发现深信不疑。

三是教学媒体的改变。前一次教学主要借助简易多媒体，后一次教学主要借助电子白板。为此，我苦练课件制作水平。特别是模拟植树这一环节，一开始就想制作动态植树的课件，但却一直找不到窍门。后来无意间想到用插入文本框的方法，从而制作出模拟植树的动态课件，使得课堂教学更加高效。为了充分尝试交互式教学，我还努力钻研电子白板的使用方法，并设计了以前从未设计过的流程图（如下图）。可以说，教学媒体的改变使我的信息技术应用能力得到了快速提升。

其中，最为重要的是教学策略的改变。事后我努力分析分散建模与整体建模的优劣，两者主要区别有三点：

一是视野不同。分散建模只见“树木”，不见“森林”。分散建模可以让学生建立稳固的“两端都栽”的植树模型，但却不能沟通与其他植树模型之间的联系。学生见到的是一个又一个的模型——“树”，很难见到模型之间的联系——“森林”，在解决实际问题时往往错误百出。整体建模，既见“树木”，又见“森林”。整体建模要求学生在整体感知、理解教材的过程中尽快找到解决某一类问题的方法和规律。由于教师一下子把全部问题或主要问题交给学生，学生就会从整体上想办法解决，而不是解决一个再等老师布置下一个。学生在整体建构的过程中只要找到了解决这一类问题的模型和方法，就能做到举一反三，事半功倍。

二是效率不同。分散建模用时较多，效率低下。分散建模着眼于单个植树模型的建立。如果后续教学要沟通这些模型，至少还要花一节课的时间去梳理。因此，按照分散建模的策略教学完植树问题至少要5课时。而这在数学课时有限的情况下，着实不划算。整体建模，用时较少，效率较高。有了比较，学生能快速认识植树问题的三种类型及特点，能较好地厘清三种植树模型之间的联系与区别。在解决问题时，只要思考一下属于哪一种类型，就可以用相应的模型去解决。这样一来，植树问题3课时就能学完。

三是程度不同。分散建模不信学生，缺乏挑战。采用分散建模的原因是怕学生一下子掌握不了这么多模型，实际上是对学生的不相信。“植树问题”已从四年级下册编排到五年级上册，如果再用原先的方法，真的就和学生的现实能力脱节，也就缺乏挑战性了。整体建模相信学生，学有所成。敢于以整体建模的策略进行教学，实际上就是对学生的相信。事实上，只要教学贴近学生的真实思维，学生的整体建模就会有成果。如最后的问题：树还能换成别的事物吗？促使学生努力寻找生活原型。事后，学生会自然而然地认识到植树问题与生活息息相关，从而拓展植树问题的应用范围。

那整体建模为什么会有如此力量呢？原来人们认识事物的规律是先整体后部分，经过几个循环往复，最后形成对事物的清晰认识。系统思维也告诉我们，统揽全局，着眼整体，才谈得上循序操作，层层落实。与分散建模教学相比，整体建模更强调学习资源的整合与生成，着眼于学习的实践性，重视学生学的过程，强调数学活动的整体推进。因此，整体建模应当成为数学教学的主流。通过前后两次教学对比，我最大的收获有如下三点：

一是通读教材，合理分块。数学知识的单元编排，是将有内在联系的、具有共同主题的内容构成一个整体，并且根据学生的认知规律，由浅入深、由易到难进行编排。但如果教师对教材解读不当，按部就班地照本宣科，则容易步入“教学雷同、环节反复、练习重复”的局面。因此，通读教材，用整体的视角对单元教学内容进行准确定位、合理分块，是实施整体建模的一个必要环节。如“植树问题”这个单元，主要内容分成两块，一是线段植树，二是环形植树。而线段植树的三种类型难度系数相近，完全可以分在一块。

二是有机整合，创设基点。有时候一节课包含的知识点比较多，这时候就要对这些知识点进行梳理，有机整合，力求把这些知识点融合在一个探究平台中。然后以这个探究平台为基点，顺势解决所有的知识点。如四年级《三角形的分类》这一课，可以先让学生统计教材上提供的6个三角形中锐角、钝角和直角的个数，然后以这个统计表为基础，从中发现角的个数规律，从而揭示出三种三角形的概念。接着，通过这张表来揭示这三种三角形之间的关系。最后还是回到这张表，让学生回答为什么有了直角就不会出现钝角。为下一节课《三角形内角和》埋下伏笔。这样以统计表为基点展开建模，整体感明显，效果显著。

三是提炼任务，整体解决。即要求老师一下把全部任务交给学生，要求学生一次性思考解决这些问题。如后一次的《植树问题》教学就是把构建三个植树模型的任务一次性布置给学生，学生在模拟植树的过程中整体建构，并通过比较，深刻领会各模型之间的联系与区别。