基于轨道根数的低轨卫星轨道预测算法

李　丹，于　洋

(中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，吉林 长春 130033)



基于轨道根数的低轨卫星轨道预测算法

李丹*，于洋

(中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，吉林 长春 130033)

光电设备因太阳夹角变化、轨道遮挡等原因无法对卫星进行自动跟踪时，需要对卫星轨道进行预测。本文针对利用卫星轨道根数进行轨道预报时难以同时满足实时性和精度要求的问题，提出了一种新的基于轨道根数的卫星轨道预测方法。分析了卫星轨道的运行规律，根据低轨卫星的运行特点，利用椭圆曲线对卫星轨道进行预测，并对卫星轨道的轨道方程进行了近似处理。通过引入一些冗余变量简化了卫星轨道解算模型，在保证计算实时性的前提下，大大提高了轨道预测精度。实验显示：采用线性外推方法对卫星轨道进行预测时，预测5 s后，轨道预测的偏差会增大到10″，而采用本文提出的基于轨道根数的卫星轨道预测算法，预测50 s后的最大预测偏差均不超过2″，极大地提高了卫星轨道预测精度，实现了光电设备在无法对卫星进行自动跟踪时，能够对卫星进行"盲跟踪"。

低轨卫星;轨道预测;轨道根数；光电设备

1　引　言

在现代化的光电测量装备对卫星进行跟踪时，一般都通过卫星轨道根数解算出卫星的轨道预报数据，在卫星过境时利用引导数据将卫星引入光学跟踪视场中，再利用跟踪传感器图像计算卫星的脱靶量，最终完成对卫星的自动跟踪。目前国内外采用的方法是对卫星进行轨道预报，轨道预报是指在已知空间目标某一时刻状态的前提下，根据轨道动力学建立的模型，预测目标在之后一段时间内的轨道信息，其实质是求解描述空间目标运动的微分方程的过程。

最早的模型是开普勒定律描述的一个简单又抽象的力学模型，即一个质点以另一质点为中心的运动，通常称之为二体模型。该理想模型下的运行轨道称为二体轨道，但空间目标在轨运行始终受到各种摄动力的作用。这些摄动力有:地球形状非球形和质量不均匀产生的附加引力，高层大气的气动力，太阳、月球的引力，太阳光辐射压力，地球辐射压力，地球潮汐摄动，相对论效应等。在摄动力的作用下，其轨道根数不断地变化，目标轨道不再遵循二体轨道模型。

多年来，研究者们针对上述因素建立了多种模型。上世纪60年代，美国 Smith天文台建立了第一个重力场模型。1972 年，NASA(National Aeronautics and Space Administration)开始建立 GEM 系列模型，并于 1994 年和喷气推进实验室、德克萨斯大学共同建立了 JGM 系列地球重力场模型。其中 JGM-3 已经是一个很精细的全球重力场模型，但新的模型仍在不断开发中。

更进一步的有360×360阶的EGM96模型等。在同一时代，人们也开始开发大气模型。自 1965 年开始，人们相继发布了不同的大气密度模型，第一个称作 J-65，随后又出现了Jacchia-71、Jacchia-77 和 DTM 等大气密度模型。虽然很多研究机构发布了多种复杂的密度模型，但过去20年中，经验阻力模型的精度并没有明显提升，目前广泛应用于轨道确定和预报的是 J71 模型，该模型能够相对合理地描述大气密度，且计算量适中。此外，地球运动模型和时间、坐标系的精确计算对轨道计算也有极大影响。

对于高轨卫星，其运行速度校慢，轨道漂移也较慢，因此可以采用轨道根数对卫星轨道进行预测，完成高精度引导测量，但对于低轨卫星而言，其特点是运行速度快，轨道漂移也较快，采用事前轨道预报的方法无法保证引导精度，而采用实时解算的方法，又由于以上各种模型力学方程非线性程度太高，无法求出解析解，故只能通过迭代法求解，其运算非常大，无法保证卫星跟踪的实时性要求。现阶段光测设备采用的方法是事前对卫星的轨道进行预测，当卫星进入跟踪视场时，切换成自动跟踪模式完成对卫星的高精度引导。该方法也有其缺点，在跟踪过程中，由于太阳夹角的变化，可能会出现目标变暗或图像饱和的情况，因此无法对卫星进行全程自动跟踪，此时的预报数据精度又无法满足要求，因此需要对卫星的轨道进行预测[1]，即在初始段对卫星进行自动跟踪，并测出卫星轨迹，在无法闭环跟踪时对卫星轨道进行预测，对目标进行“肓跟踪”。基于上述思想，本文提出一种基于卫星轨道根数的轨道预测算法，在保证实时性的前提下，能够对卫星进行高精度的轨道预测。

2　卫星轨道计算

2.1卫星运动方程

如图1所示，O-XYZ为协议天球坐标系[3]，其坐标原点于地球质心，Z轴指向J2000.0平赤道[4-5]的极点，X轴指向J2000.0平春分点[4-5]，Y轴与X、Z轴成右手坐标系。该坐标系可视为惯性坐标系。

图1　卫星轨道面Fig.1　Satellite orbit plane

在二体问题中，地球质量M集中于地球质心O，卫星为一质点S，其质量为m。O点至S点的矢量r称为卫星的位置矢量。鉴于卫星质量m远小于地球质量M，因此忽略卫星对地球引力的影响。根据万有引力定律，卫星的运动方程为：

(1)

简记为

(2)

μ=GM,

(3)

r为位置矢量r的模，称其为地心距或地心向径，即

(4)

写成标量形式为：

(5)

由此可见，卫星的运动方程是三元二阶联立微分方程组，需要6个积分常数才能完全确定其方程的解。

对卫星轨道极坐标方程进行积分得：

(6)

再由活力公式得到：

(7)

进而得到：

(8)

为了方便积分，引入辅助变量E，称为偏近点角。E的几何意义如图2所示。

图2　偏近点角E与真近点角fFig.2　Eccentric anomaly E and true anomaly f

以卫星轨道椭圆中心为圆心作一辅助圆，过卫星点S向近地点方向作一垂线，其反向延长线与辅助圆交于点S’, S’与椭圆中心连线与近地点方向的夹角即为偏近地角E。由此可得：

acosE=rcosf+ae.

(9)

结合椭圆轨道方程可得：

(10)

进而导出的表达式为：

aecosE=a-r,

(11)

即

r=a(1-ecosE).

(12)

对上式微分，并代入位置微分方程，得：

(13)

化简后为：

(14)

积分后得：

E-esinE=nt+T0.

(15)

其中：T0为积分常数，通常用τ=-T0/n代替，则积分式为：

E-esinE=n(t-τ).

(16)

这就是开普勒积分，也称开普勒方程。它导出了二体问题的第6个积分常数τ，可以表述偏近地角E随时间变化的规律。

当E=0时，t=τ，即τ的意义为卫星过近地点的时刻，在一些计算中，常采用平近地角M代替τ：

(17)

平近地角M的意义如下：从近地点起算，卫星以平均角速度n运行，在一定时间内扫过的角度；因此在初始时刻，即t=0时，M=M0,此时称M0为卫星的平近点角。

2.2卫星星历计算

根据卫星的轨道根数，求解卫星在任一时刻的位置及速度，称为卫星星历计算。开普勒方程为：

E-esinE=M，

(18)

其是一个超越方程，对E的求解采用迭代法。对方程两边进行微分，写成如下格式：

(19)

赋初始值E0=M，按下式迭代：

(20)

依次进行迭代,直至满足终止条件：

(21)

同时根据椭圆的圆锥曲线方程，可得到真近地角f与偏近地角E的关系：

(22)

2.3卫星位置和速度计算

卫星S在轨道平面上沿椭圆轨道运行，设其在t时刻的位置矢量为r。引入近地点方向的单位矢量P和与P垂直的单位矢量Q，如图3所示。

图3　轨道面上的P、Q单位矢量Fig.3　Unit vectors P,Q on orbit plane

则卫星的位置矢量可表示为：

r=rcosf·P+rsinf·Q,

(23)

代入cosf、sinf，得到：

(24)

P、Q的表达式可根据球面三角的边余弦定理[6]得到：

(25)

卫星的速度可由位置微分得到：

(26)

通过以上计算便可得到二体问题中卫星的位置与速度。在卫星的精确运行模型中，还应考虑地球引力势、日月引力摄动、太阳辐射压、上层大气阻力等因素[7～10]，但在短期卫星预测模型中，可忽略这些因素的影响。

3　卫星轨道预测

卫星轨道预测的主要思想是在发现卫星的起始段对卫星进行自动跟踪，同时记录光电设备的编码器值，并将其作为卫星轨道的测量值，当卫星进入无法自动跟踪区域时，结合卫星的测量数据和卫星的轨道根数对卫星位置进行预测，将预测值作为引导值，用以引导光电设备进行跟踪，以保证卫星始终处于跟踪点。

在卫星轨道预测时，若对卫星的测量数据只是简单地进行线性插值外推，则无法满足精度要求，此时需根据卫星轨道的运行特点进行外推，以得到较高的卫星预测精度。

由卫星的位置矢量方程复杂度可知，若要根据卫星的实测位置解算轨道根数，再由轨道根数对卫星位置进行预测，则需要进行迭代计算，计算量非常巨大，无法满足实时性要求。因此需要对卫星的位置矢量方程进行简化，以寻求一种简单的方法对卫星的运行轨迹进行预测。

首先将卫星的位置矢量写成标量形式：

(27)

以X方向为例：

(28)

用卫星的平近地角M近似代替偏近地角E，则上式化为：

即：

将上式展开得：

X=Axcosnt+Bxsinnt+Cx,

(29)

式中

(30)

同理：

(31)

式中

(32)

上式说明卫星位置可表示为平均角速度的正余弦函数的组合。

假设光电设备在自动跟踪过程中对卫星角度(方位A、俯仰E)和距离(R)测量了n组数据(若光电设备不具备测距功能，则用卫星轨道预报数据中的距离值代替)，结果为：

Ai∈{A1,A2,A3,…,An}

Ei∈{E1,E2,E3,…,En} .

Ri∈{R1,R2,R3,…,Rn}

则问题变为如何根据测量值拟合出卫星位置X、Y、Z的系数AX、BX、CX、AY、BY、CY、AZ、BZ、CZ。首先根据大地测量中的坐标转换法将测量值转化到协议天球坐标系[4]，设转换结果为：

Xi∈{X1,X2,X3,…,Xn}

Yi∈{Y1,Y2,Y3,…,Yn}

Zi∈{Z1,Z2,Z3,…,Zn}

以X方向为例，将X方向的展开式与实测值进行拟合，即计算满足下式的最小值时的AX、BX、CX：

(33)

分别计算系数的偏微分：

对此方程组求解，即可确定待定系数AX、BX、CX，在计算方程的解时，平均角速度n可由轨道根数文件得到，也可由实测的瞬时角速度代替。

同理，可计算得到AY、BY、CY、AZ、BZ、CZ。

最后，将预测的时间代入,可得卫星在预测时刻的位置X、Y、Z，再对X、Y、Z进行坐标转换，可得卫星预测数据的引导值A、E、R。

4　实验分析

选择对国际空间站的观测数据作为测量参考数据，其轨道根数采用TLE格式的双行根数，如下所示:

122565U93016A12331.89027088 -.0000016600000-0-63923-407463

222565070.8686312.21700003940057.7642302.386014.1243863414632

根据卫星轨道根数中每日绕地圈数可计算得出平均角速度：

利用某光学设备进行测量，其有效口径为600 mm，配有激光回波测量系统，可通过测量激光回波时延测量卫星距离，其测角精度为1″，测量结果如表1所示。

表1　部分测量数据

采用第3章中提到的方法,选取测量结果中的前20 s数据进行拟合，时间选取相对时间，得到拟合系数如表2所示。

表2　拟合系数

用拟合系数对卫星轨道进行预测，拟合后50 s的数据与实测结果进行比较，预测误差显示如图4所示(彩图见期刊电子版)，单位为角秒(″)。

图4　基于根数的预测值与实测值差值曲线Fig.4　Deviation curves between forecasting values based on orbit elements and real measurement values

由图4可以看出，采用基于轨道根数的卫星轨道预测算法，在50s内的预测误差不大于0.5″(方位)、2″(俯仰)。

为了进一步验证此算法对高仰角的高速低轨卫星预测的有效性，选取太阳同步轨道的近地卫星进行试验，在航截点之前对卫星进行自动跟踪并累积数据，在接近航截点时停止自动跟踪并对卫星轨道进行预测，将测量图像中的脱靶量作为预测偏差，图5列出了若干颗卫星的轨道预测偏差数据。

(a)卫星a的轨道预测偏差(a)Orbit forecasting errors of satellite a

(b)卫星b的轨道预测偏差(b)Orbit forecasting errors of satellite b

(c)卫星c的轨道预测偏差(c)Orbit forecasting errors of satellite c

(d)卫星d的轨道预测偏差(d)Orbit forecasting errors of satellite d图5　卫星轨道预测误差Fig.5　Orbit forecasting errors of satellites

卫星编号最大仰角/(°)航截点方位预测误差/(″)航截点俯仰预测误差/(″)方位预测误差均方根/(″)俯仰预测误差均方根/(″)a82．071．52-1．461．260．71b77．58-1．97-1．641．660．52c78．78-4．120．741．990．50d80．51-1．250．270．700．86

图中的偏差主要是由于用平近点角代替偏近点角所引起的，由于每个卫星测量时的近地点幅角不同，因此偏差的变化规律也并不一致,但预测的偏差(均方根)不超过2″。将预测偏差的结果分析如表3所示。

5　结　论

本文着重分析了卫星轨道的运行规律，根据低轨卫星的运行特点，研究了基于轨道根数的卫星轨道预测算法。该算法根据卫星轨道根数拟合出卫星轨道位置参数方程，进而确定卫星轨道运行参数，以对卫星轨道进行预测。由于采用了近似算法，避免了解算卫星引导数据时进行迭代计算，从而实现了解算的实时性。在预测精度上，将预测的结果与线性插值的结果进行了比较分析，采用基于卫星轨道根数的方法对卫星轨道进行预测时，由于综合考虑了卫星的运行规律，因此极大地提高了卫星轨道预测精度。采用基于根数的卫星轨道预测方法，预测了50 s的卫星轨道数据，其预测精度在0～2″，相比于线性外推法6′以上的预测精度，提高了近2个数量级。利用卫星预测数据对卫星进行实时引导，实现了在卫星进入地影消失或接近太阳呈现饱合时无法自动跟踪状态下的高精度引导。

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李丹(1981-)，女，吉林长春人，助理研究员，2004年于吉林大学获得学士学位，2010于中国科学院研究生院获得硕士学位,主要从事电子学设计和开发的工作。E-mail: lidan981@sina.com

于洋(1981-)，男，吉林长春人，博士研究生，助理研究员，2004年于中国科学技术大学获得学士学位，2006年于中国科学院研究生院获得硕士学位，主要从事图像处理，轨道预报技术的研究。E-mail: repusnam@163.com

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Prediction algorithm of close-orbit satellite based on orbit elements

LI Dan*, YU Yang

(Changchun Institute of Optics, Fine Mechanics and Physics,ChineseAcademyofSciences,Changchunlidan@ciomp.ac.cn130033,China)*Correspondingauthor,E-mail:

When a photoelectric device can not track the satellite due to the changed intersection angle of the sun or the orbit blocking, the satellite orbits have to be predicted. Because the traditional orbit prediction method based on orbit elements can not meet the requirements of real-time and precision measurement simultaneously, this paper proposes a new satellite orbit prediction method based on orbit elements. The movement rule of satellite orbits was analyzed, then the elliptic curves were used to predict the satellite orbits and to process approximately the orbit equation based on the characteristics of a low orbit satellite. Some redundancy variable quantities were induced to simplify the calculation model for satellite orbit, so that the orbit prediction accuracy is greatly increased in guaranteeing a good real-time calculation. The experiments show that when the linear extrapolation is used to predict the satellite orbit, its prediction deviation will increase to 10″ after 5 s forecasting. However, if the method presented in this paper based on the orbit elements is used in the prediction, the maximum deviation is not more than 2″after 50 s prediction. The method has greatly promoted the prediction precision of satellite orbit, and makes the photoelectric device implement the 'blind tracking' for satellites when the automatic tracking is become to be invalid.

close-orbit satellite; orbit prediction; orbit element; photoelectric device

elestial

ystemTransformationandItsApplication[M]. Beijing: Science Press, 2010.( in Chinese)

2016-01-15；

2016-03-01.

国家自然科学基金资助项目(No.61308050)

1004-924X(2016)10-2540-09

V423.4

Adoi:10.3788/OPE.20162410.2540