反证法在中学数学中的应用

覃春玲

摘 要 本文主要剖析了中学数学里常用到的使用反证法来证明命题，从六个方面进行了深入的研究。探讨反证法在使用中常见的问题，揭示了反证法在中学数学的应用中有重要的、特殊的地位。

关键词 反证法 中学数学 教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）21-0088-02

在数学证题当中常常会运用到反证法，牛顿说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。通常来说，反证法通常用以去证明的题型有：“至少”或“至多”、命题的结论以“否定形式”“无限”“唯一”等形式出现的命题；或是否定结论更简单、具体、明显的命题；或是直接去证明比较难解出的命题，变换其思维方式，从结论下手使用反面思考，可能问题会柳暗花明。

一、基本命题

例1.已知：如图1所示，AB⊥EF 于M，CD⊥EF 于N。求证：AB∥CD。

证明：假设AB，CD不平行，即AB，CD交于点P，则过点P有AB⊥EF，且CD⊥EF，与“过直线外一点，有且只有一条直线垂直与已知直线”矛盾。∴AB∥CD。

二、结论本身是以否定形式出现的一类命题

例2.求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。

证明：已知∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角。

求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角。

假如∠A、∠B、∠C中有两个钝角，不妨设∠A>90埃摇螧>90埃颉螦+∠B+∠C>180啊U庥搿叭切文诮呛臀80啊闭庖欢ɡ硐嗝埽省螦、∠B均大于90安怀闪ⅰK裕桓鋈切尾豢赡苡辛礁龆劢恰

三、关于唯一性、存在性的命题

例3.试证明：在平面上所有通过点（，0）的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标x、y均为有理数的点）的直线有一条且只有一条。

证明：先证存在性

因为直线y=0，显然通过点（，0），且直线y=0至少通过两个有理点，例如它通过（0，0）和（1，0）。这说明满足条件的直线有一条。

再证唯一性

假设除了直线y=0外还存在一条直线y=kx+b（k≠0或b≠0）通过点，0），且该直线通过有理点A（x1，y1）与B（x2，y2），其中x1、y1、x2、y2均为有理数。

因为直线y=kx+b通过点（，0），所以b=-k，于是y=k（x-），且k≠0.又直线通过A（x1，y1）与B（x2，y2）两点，

所以 y1=k（x1-） ①

y2=k（x2-） ②

①-②，得y1-y2=k（x1-x2） ③

因为A、B是两个不同的点，且k≠0，所以x1≠x2，y1≠y2，

由③，得k=，且k是不等于零的有理数。

由①，得=x1-

此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾。

所以，平面上通过点（，0）的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条。

综上所述，满足上述条件的直线有一条且只有一条。

四、结论以“至多”“至少”等形式出现的命题

问题以“至少”“至多”“最多”或“不多于”等方式出现的命题，我们能找到直接论证的理论根据很少，所以用直接证法有一定的困难。不过如果运用反证法，添加了否定结论这个新的假设，就可以推出更多的结论，从而容易使命题获证。

例4已知：如图3，四边形ABCD中，对角线AC=BD=1。

求证：四边形中至少有一条边不小于。

证明：假设四边形的边都小于，由于四边形中至少有一个角不是钝角（这一结论也可用反证法证明），不妨设∠A≤90埃萦嘞叶ɡ恚肂D2=AD2+AB2-2AD·AB·cosA

∴BD2≤AD2+AB2，

即BD≤<=1

这与已知四边形BD=1矛盾。

所以，四边形中至少有一条边不小于。

五、结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题

例5.求证：是无理数。（古希腊人引自百科全书）

分析：由于题目给我们可供使用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将表示为一个分数。

证明：假设是有理数，则存在a，b∈N，且a，b互质，使=→a2→2b2从而，a为偶数，记为a=2c，∴a2=4c2，∴2c2=b2，则b也是偶数。由a，b均为偶数与a，b互质矛盾，故是无理数。

六、“必然性”问题

例6.若x1，x2，…，xn，xn+1均为小于1的非负实数，试证：其中一定存在两个数，其差的绝对值小于 。

证明：不妨设x1

故xi（i=1，2，…，n+1）中一定存在两个数，其差的绝对值小于。