等积替换解几何难题

聂莉

有些较复杂的几何题直接求解比较困难，但我们如果能巧妙地运用等积替换的方法，就往往可以化难为易，轻松地解决问题。

【例1】 如图1，在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，阴影部分面积是70平方厘米，求四边形EFGO的面积。

【分析与解】题目要求的是一个不规则四边形的面积，不少同学可能会感到束手无策，其实只要巧妙地进行替换转化，很快就能解决问题。

因为△ABF与△DBF同底等高，所以它们的面积相等，把它们的面积同时减去△EBF的面积，差也相等，即S△ABE=S△DEF。这样就可以用△DEF的面积替代△ABE的面积，如图2，很显然，四边形EFGO的面积就等于阴影部分的面积减去长方形ABCD面积的一半，即70 15=10（平方厘米）。

【例2 】 图3中有两个正方形，已知正方形ABCD的边长为12厘米，求图中阴影部分的面积。

【分析与解】这道题只知道一个正方形的边长，要求阴影三角形的面积，似乎条件不足，但若采用替换法，问题就能顺利解决。

【解法一】因为梯形CEFD的面积等于三角形EFB的面积（都是大、小正方形边长的和乘小正方形的边长，再除以2），所以它们同时去掉梯形CEFO以后，面积仍相等。因此S△DOF可用S△BCO替代，阴影部分面积为S正方形ABCD，即122=72（平方厘米）。

【解法二】连接CF（图3中的虚线），因为S△BCF=S△DCF（都是大正方形的边长乘小正方形的边长，再除以2），所以它们同时去掉三角形CFO以后，面积仍相等，即S△BCO=S△DOF。因此S△DOF可用S△BCO替代，显然，阴影部分的面积为122=72（平方厘米）。

【例3】如图4所示，已知三角形ABC的面积等于156平方厘米，是平行四边形DCFE面积的2倍。三角形AED的面积等于多少平方厘米？ 【分析与解】连结EC。因为ED平行于AC，可知三角形AED与三角形EDC等高，因此三角形AED与三角形EDC的面积相等，即只要求出三角形EDC的面积就求出了三角形AED的面积。三角形EDC的面积等于平行四边形DCFE的面积的一半，平行四边形DCFE的面积又等于三角形ABC面积的一半，所以三角形EDC的面积等于156=39（平方厘米）。由此可得三角形AED的面积为39平方厘米。

【例4】图5是由一大一小两个正方形组合而成，已知小正方形的边长是6厘米，请算出三角形ACB（阴影部分）的面积是多少平方厘米。

【分析与解】连结AD。因为三角形ADB的面积等于小正方形的边长乘大正方形的边长再除以2，而三角形ADC的面积也等于小正方形的边长乘大正方形的边长再除以2，所以三角形ADB的面积等于三角形ADC的面积，又因为三角形ADF是这两个三角形的公共部分，所以又可以得出三角形AFB的面积等于三角形DCF的面积。现在把三角形AFB的面积替换成三角形DCF的面积，因此，阴影部分的面积即为三角形BDC的面积：6=18（平方厘米）。