在纠错中前行，在解析中成长

杨丹

在纠错中前行，在解析中成长

杨丹

概率是中考必考的知识点，同学们会感到初学并不困难，可一旦遇到具体问题，却常常出错.下面就以概率解题中同学们常遇到的问题为例，希望对同学们的学习有所帮助.

一、对事件发生的等可能的结果列举不全

1.对机会的等可能性理解不透彻导致错误

例1甲、乙、丙、丁四人参加某校教师招聘考试，试后甲、乙两人去询问成绩.评委对甲说：“恭喜你，你不是最差的，丙是最差的.”对乙说：“四人的成绩均不相同，但可惜你未能获得第一名.”请你根据回答的内容进行分析，这四人的名次排列可能共有几种不同的情况.

【错解】答案空在那儿或胡乱写一个答案.

【正解】根据评委的话，可以将整个事件看成两个部分组成：应聘者，考试名次.将条件整理成表格形式.

名次1甲2 3 4 ×乙× ×丁丙× × ×√×

由表格可知：甲的名次可能是1或2或3，乙的名次可能是2或3，丁的名次可能是1或2或3，丙为第四名.所以所有等可能的结果为：甲1乙2丙4丁3，甲3乙2丙4丁1，甲2乙3丙4丁1，甲1乙3丙4丁2.

【学生自述】（1）题目提供的条件多而乱，感觉无从下手，便不会处理；（2）能够确定丙的名次，但如何确定甲、乙、丁的名次没有头绪；（3）甲有3种情况，乙有2种情况，丁有3种情况，所以总共有3× 2×3=18（种）情况；（4）漏掉考虑甲3乙2丙4丁1和甲2乙3丙4丁1这两种情况.

2.对问题中有无放回的理解出现错误

例2已知红色和蓝色在一起可配成紫色，现有三种颜色红色、白色和蓝色，从中任意取出两种颜色来配紫色，问：能配出紫色的概率有多大？

【错解】画树状图（也可列表格）：

所有等可能的结果共有9种，其中配出紫色的结果有2种，P（配出紫色）=.

【正解】画树状图：

所有等可能的结果共有6种，其中配出紫色的结果有2种，P（配出紫色）

【学生自述】没有考虑到：在红、白、蓝三种颜色中，任意取出两种颜色时，不能同时取出两种相同的颜色.

【点评】事件中要进行两次或两次以上选取时，请同学们根据实际情况分析和理解，切不可主观臆断和猜想，要有依有据地判断是否有放回.

3.由于生活常识缺乏导致等可能结果错误

例3甲、乙两队进行乒乓球团体赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，并且必须全部打完，赢满2局的队就可获胜.假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且甲队已经赢得了第1局，那么甲队最终获胜的概率是多少？

【错解】画树状图：

第3局甲胜平乙胜甲胜平乙胜甲胜平乙胜

【正解】详细解答可见《抓住例题本质灵活解中考题》中变式3.

【学生自述】比赛的结果有三种情况：胜、平、负，特别是题目中强调“甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同”.

【点评】乒乓球在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先多得2分的一方为胜方，所以乒乓球比赛的结果只有两种情况：“胜”或“负”.数学来源于生活，所以如乒乓球比赛的赛制这类生活常识同学们需了解.

二、由于对关注事件理解有误

例4在某小学“演讲大赛”选拔赛初赛中，甲、乙、丙三位评委对小选手的综合表现，分别给出“待定”（用字母W表示）或“通过”（用字母P表示）的结论.请用树状图表示出对于小选手琪琪，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？

【错解】画树状图：

其中只有甲、乙两位评委给出相同结论的结果有4种，P（只有甲、乙两位评委给出相同结论）=

【正解】其中只有甲、乙两位评委给出相同结论的结果有2种，P（只有甲、乙两位评委给出相同结论）=

【学生自述】在看树状图时只关注了甲、乙的结论是否一样，并没有考虑丙评委的结论与甲和乙的关系.

三、由于数学思想方法运用不灵活

例5（1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人，求第二次传球回到甲手里的概率是多少？（请用“树状图”或“列表”等方式给出解析过程）

（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么第三次传球后球回到甲手里的概率是_________.

【错解】第二小题空着或胡乱写一个答案.

【正解】详细解答可见《用好策略如虎添翼》中“找规律”的例题.

【学生自述】由于第2小题中n是一个字母，有很多种情况，就不知道如何来画图了；从第1小题的与三人传球到与n人传球，可以看出这个题目在找规律，但画出了树状图却无法找出变化数字与关注结果的关系.

【点评】第2小题考查同学们的“化归思想”，如果同学们遇到一个题目有多个小题，且每个小题所求的结论类似时，可以尝试用第1小题的处理方式来解决之后的小题，这也是“化归思想”想考查同学们的地方；遇到找规律的题目时，请注意处理方法：从n的最小值开始去研究题目要求的数量，不要怕繁琐，直到所代入的数能从结果中发现规律为止，只要将变化部分用字母代替，不变部分照抄就能得出规律.

（作者单位：江苏省无锡市后宅中学）