面齿轮副小轮拓扑修形设计及啮合性能分析

付学中, 方宗德, 李建华, 蒋进科

(西北工业大学 机电学院，陕西 西安 710072)



面齿轮副小轮拓扑修形设计及啮合性能分析

付学中, 方宗德, 李建华, 蒋进科

(西北工业大学 机电学院，陕西 西安 710072)

为改善面齿轮啮合性能，设计了小轮齿廓、齿向修形曲线，将3次B样条拟合的修形曲面与小轮理论齿面叠加构造精确的拓扑修形齿面，建立了小轮拓扑修形面齿轮副TCA、LTCA计算模型，并试验验证了理论分析的正确性。算例分析表明：小轮拓扑修形能获得开口向下2阶抛物线几何传动误差，接触路径与齿根倾斜，较传统面齿轮副，有效重合度提高了约10%，容差能力提高了400%；各载荷下承载传动误差波动幅值均减小，齿面载荷分布变化均匀，轮齿进入和退出啮合时承受载荷变小。

面齿轮；拓扑修形；齿面接触分析；承载接触分析；啮合性能

面齿轮传动[1]是指圆柱齿轮与圆锥齿轮相啮合的新型传动，可用于两轮轴线相交或交错的场合。与锥齿轮传动相比，面齿轮传动最大优点在于主动小轮安装位置比较自由，不需要精确定位，此外还具有结构简单、动力分流效果好等诸多优点[2-4]。为改善面齿轮传动的啮合特性，国内外做了大量地研究。Litvin等[5]对齿条刀具的齿廓抛物线修形，得到了倾斜的接触路径。为进一步解决齿面偏载，Zanzi等[6]提出对面齿轮副中小轮进行双向修形。国内彭先龙等[7]提出用给定的啮合性能对面齿轮和小轮齿面进行重新设计的方法，郭辉[8]则提出采用修形的蜗杆砂轮展成修形小轮的方法。但是，以上研究都未能提供精确的修形曲面和修形齿面，且需反复试凑参数才能确定合理修形量，已不能充分满足航空领域高精度传动设计要求。另外，现今多轴联动的高性能数控机床技术[9]，则为高精度修形齿面的加工提供了条件。

本文对面齿轮副中小轮进行拓扑修形，设计了齿廓、齿向修形曲线，将修形曲面与理论齿面叠加构造出精确的修形齿面，对所获得的局部共轭面齿轮副啮合性能进行分析，并进行试验研究。为简单起见，文中面齿轮由虚拟插齿刀展成得到。

1　小轮和虚拟插齿刀理论齿面

1.1齿条刀方程

小轮和虚拟插齿刀齿面由齿条刀具展成得到，齿条刀具的端面齿廓见图1。

图1　齿条刀具Fig.1　Rack-cutters

坐标系Sbi、Sci均是在齿条刀具端截面内，下脚标i=s、1分别表示展成虚拟插齿刀、小轮时的相关参数。S0=πm/2是齿条刀中线上的齿槽宽，α为端面压力角，设ui、li是曲面两个独立参数，则齿条刀齿面Σbi在坐标系Sbi、Sci中可以表示如下：

(1)

(2)

式中:Mcibi是坐标系Sbi到坐标系Sci的坐标变换矩阵。齿条单位法矢为：

(3)

1.2小轮和虚拟插齿刀理论齿面

由齿条刀齿面Σb1、Σbs可分别包络得到小轮和虚拟插齿刀的齿面Σ1、Σs，见图2。

图2　小轮和虚拟插齿刀展成坐标系Fig.2　Coordinate systems for pinions and imaginary shaper cutters

图中Si、Sci分别与齿轮、齿条刀固联，Sdi为固定坐标系。ψi、rpi分别为齿轮转角及分度圆的半径，ψirpi为齿条刀位移。小轮和虚拟插齿刀在Si中的理论齿面可由下式表示：

(4)

理论齿面法矢为：

(5)

式中:Lici为将矩阵Mici删除最后一行及最后一列得到。

2　小轮拓扑修形齿面

设计的修形曲线由2段抛物线与1段直线组成，见图3，l1、l3与l2、l4为单独齿廓修形时齿廓两端最大修形量与对应修形长度，l5、l7与l6为单独齿向修形时齿向两端最大修形量与不修形长度，h、b为旋转投影面上的齿高、齿长，修形曲线用旋转投影面数据表示。旋转投影面表示为：

通过2016年同德县1∶5万地质灾害详细调查工作，统计出同德县境内共发育地质灾害点262个，其中滑坡70处，崩塌27个，泥石流143条，不稳定斜坡22段(图1)。地质灾害在各乡镇的分布很不均匀。巴沟乡及河北乡地质灾害点最多，其次是曲尕巴松多镇和秀麻乡；灾害点最少的是唐谷镇(表1)。

(6)

式中：Rx、Ry、Rz是理论齿面位矢的坐标分量。

将旋转投影面沿轮齿齿高、齿长方向均匀划分成m×n个网格点阵，根据修形曲线计算网格节点的修形量δij(x,y)，再由3次B样条对齿面网格节点数据拟合获得光滑的修形曲面。单独的齿廓、齿向修形为二维修形，拓扑修形可视为二者的叠加。将修形曲面与小轮理论齿面叠加，构造精确的拓扑修形齿面，其位矢和法矢表示如下：

(7)

(8)

图3　设计修形曲线Fig.3　Design curves of profile and longitudinal modification

3　面齿轮理论齿面

图4所示为面齿轮的展成坐标系，坐标系Ss(Os, xs, ys, zs)、S2(O2, x2, y2, z2)分别与虚拟插齿刀和面齿轮固联，坐标系Sm(Om, xm, ym, zm)、Sp(Op, xp, yp, zp)与机架固联，为辅助坐标系，γm是面齿轮轴线z2与虚拟插齿刀轴线zs间的夹角，L0是面齿轮中径，ψs、ψ2分别是虚拟插齿刀和面齿轮的转角，两转角的关系为ψ2=ψsm2s。面齿轮齿面Σ2s是曲面族R2s的包络，齿面方程由下式表示：

(9)

(10)

式中:L2s为删除M2s的最后一行和最后一列得到。

图4　面齿轮展成坐标系Fig.4　Coordinate systems for face gear

4　齿面接触分析(TCA)

齿面接触分析时采用的坐标系见图5，坐标系S1、S2分别固联小轮、面齿轮，Φ1、Φ2为转角，齿面在固定坐标系Sf中切触。坐标系Sq、Se、Sd分别用来模拟轴向位移误差△q、偏置误差△E、轴夹角误差△γ，B为小轮与虚拟插齿刀分度圆半径之差，γf是实际安装轴夹角，γf=γm+△γ。面齿轮齿面位矢和法矢在Sf中表示为R2f和n2f，小轮拓扑修形齿面位矢和法矢在Sf中表示为R1f和n1f，则齿轮副在Sf中切触方程可表示为：

(11)

当以一定步长取Φ1为输入量求解上式，即可得到齿面啮合迹线、几何传递误差。

图5　面齿轮副啮合坐标系Fig.5　Coordinate systems for gear meshing

5　承载接触分析(LTCA)

在TCA求得的准确齿面接触几何条件的基础上，可进一步确定两齿面接触间隙、沿接触椭圆长轴方向离散点的柔度矩阵，算法见文献[10-12]，据此建立面齿轮副小轮拓扑修形后轮齿承载接触问题的数学规划模型：

(12)

式中:Xj(j=1,2,…2n+1)为人工变量，X=[X1X2…X2n]T，n维列向量，e的各元素均为1，w为弧线齿面齿轮齿面间n维初始间距矢量，p是齿面上的集中载荷，Z是轮齿变形后的法向位移。求解数学规划(12)，由此可得承载传动误差、齿面载荷分布、齿间载荷分配系数等。

6　实例分析

由上述推导编写MATLAB程序并设计了两组面齿轮传动，设计参数见表1。实例1为传统面齿轮副，通过虚拟插齿刀与小轮齿数差实现局部共轭；实例2中虚拟插齿刀与小轮齿数相同，面齿轮副完全共轭，对安装误差非常敏感，需进行修形。

设计小轮齿廓、齿向修形曲线见图6，齿廓修形参数为l1=7.4 μm、l3=5 μm、l2=l4=m，齿向修形参数为l5=l7=20.8 μm、l6=0。通过拟合得到小轮修形曲面见图7，叠加齿廓、齿向修形可得拓扑修形齿根处最大修形量为28.2 μm，齿顶处最大修形量为25.8 μm。

表1　设计参数

图6　修形曲线Fig.6　Deviation curves

图7　拓扑修形曲面Fig.7　Deviation surface of topologically modified

由图8可知，无载时对准安装条件下，传统面齿轮副接触路径与齿根垂直，小轮拓扑修行后接触路

径与齿根成一定角度倾斜，两者的接触印痕均大致位于轮齿的中部。经计算前者有效重合度为1.375，后者为1.5，提高了约10%，可见小轮拓扑修形能有效增大面齿轮副的有效重合度。

图8　无载时对准安装接触印痕Fig.8　Contact patch without torque in case of 　no misalignment

图9表明无载对准安装时，传统面齿轮副几何传动误差为0，小轮拓扑修行获得了开口向下2阶对称抛物线几何传动误差，降低了安装误差敏感性，故允许最大安装误差变大，见表2(由TCA获得)，容差能力提高400%。图9中Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ分别对应载荷2 000、4 000、5 000 N·m时承载传动误差，可见小轮拓扑修形后获得了近似抛物线承载传动误差，误差波动幅值比传统面齿轮副明显减小，幅值分别由0.96"、1.82"、2.27"降到0.16"、1.03"、1.48"，最大降幅83%，从而达到减振降噪的目的。

表2　允许最大安装误差

图10表明传统面齿轮副在承载5 000 N·m时，每条接触椭圆长轴上的载荷都有较大突变，且齿轮副存在较严重边缘接触，而小轮拓扑修形后载荷从轮齿中部沿接触椭圆长轴向两端逐渐减小为零，仅齿根处接触椭圆长轴上的载荷有轻微突变，齿面载荷分布变化较均匀、平缓。

图9　对准安装时传动误差Fig.9　Tansmission errors in case of no misalignment

图10　承载5 000 N·m时对准安装载荷分布Fig.10　Load distribution with a torque of 5 000 N·m in case of no misalignment

面齿轮副承载时存在单、双齿啮合，因承载齿数变化导致齿间载荷分配系数有突变，见图11，系数等于1时为单齿啮合，小于1为双齿啮合，小轮拓扑修形后双齿啮合时长比重增加，且轮齿进入和退出啮合时承受载荷减小50%，传动更加平稳。

图11　承载5 000 N·m时对准安装载荷分配系数Fig.11　Gear transverse load distribution factors with a torque of 5 000 N·m in case of no misalignment

7　试验

图12为加工的面齿轮局部轮齿，参数见表1中实例2。轮齿外端齿顶处无变尖，内端齿根处无根切，表明参数选取合理。

图12　面齿轮轮齿Fig.12　The teeth of face gear

根据图6修形曲线，编制数控程序并完成小轮拓扑修形。滚检见图13，涂有红丹粉的小轮轮齿区域与面齿轮充分啮合，获得的接触印痕见图14、15，红丹粉被磨掉的部分即为接触区域。对准安装时齿面接触印痕位于齿宽中部，与对准安装TCA结果图8(b)吻合，当轴向位移误差△q、偏置误差△E取正值时印痕向面齿轮外端移动，与未对准安装TCA结果图16吻合，但存在一定误差，可能是由于修形量较小，齿顶、齿根没有完全脱开，另外，面齿轮加工精度和齿面质量不高也是造成误差的重要原因。

图13　滚检Fig.13　The rolling tests

图14　对准安装接触印痕Fig.14　Contact patch in case of no misalignment

图15　未对准安装接触印痕Fig.15　Contact patch in case of misalignment

图16　无载时未对准安装TCA接触印痕Fig.16　Contact patch of TCA without torque in case of misalignment

8　结论

1)设计了小轮齿廓、齿向修形曲线，将修形曲面与小轮理论齿面叠加构造精确的拓扑修形齿面，建立了修形后面齿轮副传动的TCA、LTCA计算模型。

2)TCA表明小轮拓扑修形能获得开口向下2阶对称抛物线几何传动误差，接触路径与齿根倾斜，降低了安装误差敏感性，提高了面齿轮副的有效重合度及容差能力。

3)LTCA表明小轮拓扑修形较传统面齿轮副在优化承载传递误差、改善齿面载荷分布及避免边缘接触方面都具有优势。

4)试验结果与TCA结果基本吻合，验证了TCA计算模型的正确性，但存在一定误差，须进一步完善试验条件并验证LTCA结果。

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本文引用格式：

付学中, 方宗德, 李建华, 等. 面齿轮副小轮拓扑修形设计及啮合性能分析[J]. 哈尔滨工程大学学报， 2016, 37(9): 1281-1285.

FU Xuezhong, FANG Zongde, LI Jianhua，et al. Design of topological shape modification of auxiliary pinion of face gears and analysis of meshing performance [J]. Journal of Harbin Engineering University, 2016, 37(9): 1281-1285.

Design of topological shape modification of auxiliary pinion of face gears and analysis of meshing performance

FU Xuezhong, FANG Zongde, LI Jianhua, JIANG Jinke

(School of Mechanical Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

To improve the meshing performance of face gears, in this study, we designed a tooth profile and a direction modification curve on a pinion. A topologically modified tooth surface was represented accurately by the sum of two vector functions that determined the theoretical tooth surface and the deviation surface, and the latter was fitting three B-splines on the tooth surface grid. We then established computational models for the tooth contact analysis (TCA) and loaded tooth contact analysis (LTCA) of face gear pairs with the topologically modified pinion. To verify our theoretical analysis results, we then conducted an experiment. The results show that the proposed design enables the transmission error to form a second-order parabolic function by opening downward and tilting the tooth contact path. Compared with traditional face gear pairs, the effective overlap ratio increas by about 10% and tolerance ability increases by 400%. Under different degrees of torque, the fluctuation amplitudes of the loaded transmission errors all decrease significantly. The load distribution changes gently on the flank of the tooth, and the load is reduced when gear tooth enters and withdraws.

face gear; topological shape modification; tooth contact analysis (TCA); loaded tooth contact analysis (LTCA); meshing performance

2015-06-25.

时间：2016-08-29.

国家自然科学基金项目(51375384).

付学中(1986- )，男，博士研究生；

付学中，E-mail：fxznwpu@163.com.

10.11990/jheu.201506074

TH132.41

A

1006-7043(2016)09-1281-06

方宗德(1948- )，男，教授，博士生导师.

网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160829.0827.002.html