“三类思维”互相转化：数学概念的形成路径

孟霞

“三类思维”互相转化：数学概念的形成路径

孟霞

数学概念是构成数学基础知识的重要内容，对抽象思维能力偏弱的小学生来说，数学概念是难以理解的。“三类思维”互相转化，即具象思维、形象思维、抽象思维三者之间互相转化，是数学概念在学生心中由内而外自然生长的形成路径。

具象思维；形象思维；抽象思维；数学概念；形成路径

数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。小学数学中的概念是构成小学数学基础知识的重要内容，但对抽象思维能力偏弱的小学生来说，数学概念是难以理解的。因此，“数学概念不足”被列为小学生数学学习困难的一大原因。

“三类思维”互相转化，是指具象思维、形象思维、抽象思维三者之间互相转化。具象思维是指为达到认识目的，运用具象的材料或因素进行的思维，需要借助物象（即感官对于事物具体形象的感知）。形象思维是指在思维过程中借助于表象而进行的思维。抽象思维是指在思维过程中以概念、判断、推理的形式来反映事物本质属性和内在规律的思维，需要借助词语、符号。

在人类思维形式的发展史上，最先形成的是具象思维，而后是形象思维，再后是抽象思维。据此，我们应该遵循学生具象思维—形象思维—抽象思维—具象思维的发展路径（如图1），让数学概念在学生心中由内而外自然形成。

（图1）

一、从具象到形象：让数学概念在“直观”中“显影”

何谓具象？《现代汉语词典》（第6版）中的解释是：①具体的；不抽象的。②具体的形象。具象思维是人类的一种特殊的精神活动现象，它是用具体生动的整体形象揭示事物本质、表述认识结果的一种思维。小学生的思维以直观动作思维为主，这是具象思维的初级阶段。因此，小学数学概念教学应加强直观教学，丰富学生的数学表象，促进其具象思维向形象思维发展，让数学概念在“直观”中“显影”。

1.追根溯源，引导概念生长。

捷克教育家夸美纽斯说：“我们由此可以为教师们找出一条金科玉律，在可能的范围内，一切事物都应该尽量地放在感官跟前。”“这是因为知识的开端永远必须来自感官。”概念教学应呈现具象的知识，以此来刺激学生的感官，促使表象形成，为概念的生长铺平道路。

教学苏教版四下《平行四边形的认识》时，我把它和《梯形的认识》整合成一个课时进行教学。

出示下列图形：

师：你能一眼看出哪个不是四边形吗？（三角形）你能把对边平行的四边形的组数做一个统计吗？

师：根据对边平行的组数，你能把这些图形分分类吗？

学生很快把这些四边形分成“有两组对边平行”和“只有一组对边平行”两类。

在揭示平行四边形和梯形的定义后，教师追问：“为什么说只有一组对边平行的是梯形？能不能把这个‘只'字去掉？”

生1：不能。因为梯形是一组对边平行，另一组对边不平行，去掉这个“只”字，意义就表达不明确了。

生2：这个“只”字强调梯形是一组对边平行，另一组对边不平行，所以不能去掉。

教师从学生的学习起点出发，将具象的学习素材转化为学生头脑中的表象，在一次次智慧的碰撞中，概念自然生长于学生的脑海，悄然生长的还有学生的数学精神。

2.虚实相生，直击概念内核。

虚实相生是指两者处于一种互动的状态，其中，实是具象，虚是表象。有些数学概念的教学，可以借用虚实相生的方法，让学生经历由 “实”的具象到“虚”的表象的过程，促进学生深刻地理解概念，巧妙地建构新的知识生长点，从而由此及彼、由具象到表象地掌握知识。

教学苏教版二上《认识线段》时，我利用毛线、直尺的边等具象的材料，帮助学生经历线段表象的建立到线段概念的形成过程。巩固阶段，我请学生判断生活中一些现象形成的是不是线段，其中包括水龙头水流的轨迹。

水流轨迹在学生脑中虚实相生，直击线段的概念内核，帮助学生的思维实现从具象到表象的转变。

二、从形象到抽象：让数学概念在“理性”中“定格”

抽象思维是对客观现实进行间接的、概括的反映的过程，属于理性认识阶段。因此，在教学中，只有找准学生的认知难点，借助形象，适时抽象，才能帮助学生跨越从形象到抽象的思维障碍，促使数学概念在“理性”中“定格”。

1.突出现象，铺设概念形成的通达之路。

概念学习需要依赖学生积累的数学表象，引发学生的数学思考，以促进学生对数学概念的感悟和建构。

教学苏教版五上《循环小数的认识》时，我首先让学生观看马路两边广告牌和栏杆一一间隔排列、人行道地砖红白相间排列等生活现象的图片，使学生获得对“循环”含义的初步理解。接着，我启发学生：“像这样的事例，你们还能举出一些吗？”有的学生说：“春夏秋冬四季轮换，太阳东升西落。”我接着启发：“那么数学中有没有循环呢？请试着计算1÷ 3、40÷6。”

利用 “循环小数”这一概念的现实原型引入新课，紧紧抓住概念的——循环，唤醒学生关于“循环”的生活经验，为概念的顺利理解铺平了道路。

2.促使迁移，营造概念形成的酣畅之境。

新课标指出：课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。概念教学应从学生熟悉的生活情景中寻找数学现象，使学生感受到数学无处不在，感受到学习数学的乐趣，并使学生学会在生活和数学中互相迁移。

教学苏教版六上《长方体和正方体的认识》时，我先以“我们学过哪些图形？”这个问题引入，让学生回忆学过的平面图形，再出示两个立体图形，从而揭示课题。接着让学生找出生活中的长方体或正方体，再拿出长方体模型，让学生通过摸一摸、数一数，初步认识长方体的面、棱和顶点，在数的时候让学生思考：怎样数才能既不重复也不遗漏？着重引导学生养成有序思维的好习惯。在学习正方体的特征时，放手让学生运用学习长方体的经验自学。

学生把学习长方体的方法迁移到正方体，不但明晰了正方体的特征，还厘清了长方体和正方体的联系与区别。

三、从抽象到具象：让数学概念在“物化”中“成像”

抽象思维是人们进行理性认识的一种工具，但在人类社会的发展史中，具象思维的发生无处不在，人们在自觉和不自觉中无数次地运用着具象思维。培养学生的抽象思维不是终点，而能把抽象化的概念以具象化的直观形式表达出来，则表明学生对概念的理解达到了炉火纯青的境界。图形分析是解读概念的一种形式，既可以反映学生对概念的理解程度，有助于培养他们的几何直观能力，又可以让数学概念得以拓展延伸，让数学概念在“物化”中“成像”。

1.化数为形，拓展图形分析时空。

“数”和“形”是贯穿小学数学教学始终的基本内容。解决数学问题时，应把问题的数量关系与空间形式结合起来，化数为形，弥补抽象思维的不足，变抽象为具象，深化学生对数学问题本质的认识，提高其解决问题的能力。教学苏教版五下 《解决问题的策略：转化》一课时，出示以下三道计算题：

（图2）

一图抵百语，化数为形抓住了数与形之间的联系，以具象的形表达抽象的数，在问题得以解决的同时，还帮助学生感悟到以具象的图形语言思考问题的价值。

2.化难为易，提高概念理解能力。

将图形和等式结合起来分析，不但可以帮助学生较好地理解数学本质，促进他们思维的发展，还能启迪其思路，化难为易，深化学生对概念的理解，为学生创造主动思考的机会，使学生经历数学探索、发现和再创造的过程。

（图3）

图3所示的是 “解决问题的策略：转化”单元中的一道思考题：涂色部分是正方形，你能求出图中最大长方形的周长吗？

师：涂色正方形的边长与大长方形的边有什么关系？

生：涂色正方形的边长等于大长方形的宽。

师：27+19表示什么意思？

生：27+19=大长方形的长+大长方形的宽。

师：现在你知道图中大长方形的周长了吗？

生（异口同声地）：知道！大长方形的周长是（27+ 19）×2=92（厘米）。

上述案例，如果从常规思路——长方形的周长计算公式出发，先求出长方形的长和宽，再计算周长，就会陷入死胡同。改用推理的方法，很快就会发现：给出的两条线段之和恰好是长方形一条长与一条宽的和。用转化的策略将图形和等式结合起来，是解决问题的突破口。

有学者把数学概念的学习分为具体期、确认期、分类期、生产期和形式期五个阶段，其中，形式期是最高级的阶段，处于这一阶段的学生可以说出概念的定义。其实，学生的概念学习是贯穿其数学学习始终的，是渐进的。我认为还应该有第六阶段——创生期，在这一阶段，学生不但能流利地说出概念的定义，这个定义还带有学生个性化、创生性的理解。学生只有多角度、多层面地理解了概念，才能顺利地向创生期过渡，“三类思维”互相转化不失为一条有效的路径。

［1］覃可霖.试论写作活动中的具象思维［J］.广西师范大学学报:哲学社会科学版，2012（2）.

［2］刘天君.具象思维是中医学基本的思维形式［J］.中国中医基础医学杂志，1995（2）.

［3］刘天君.具象思维的概念及其意义探讨［J］.北京中医药大学学报，2011（9）.

［4］魏玉龙.具象思维的形成、发展和研究［J］.中医学报，2009（24）.

［5］孔凡哲，曾峥.数学学习心理学［M］.北京:北京大学出版社，2013.

［6］杨晓荣.重视培养几何直观能力［J］.教育研究与评论，2011（8）.

［7］苏瑜.小学数学概念的教与学［J］.教育研究与评论，2015（4）.

注：本文获2015江苏省“教海探航”征文竞赛一等奖，有删改。

G623.5

A

1005-6009（2016）36-0034-03

孟霞，江苏省连云港市墟沟中心小学（江苏连云港，222042），高级教师，连云港市名教师，江苏省优秀教育工作者。