马氏调制费率复合Poisson Geometric风险模型的预警区问题

余国胜+贺小丽+姚春临+熊昕

摘 要 考虑了一类具有马氏调制费率的复合Poisson-Geometric过程风险模型，充分利用盈余过程的强马氏性，得到第一个预警区的一个条件矩母函数所满足的微积分方程，并进一步在两状态情形下，当理赔额的分布为指数分布时得到了第一个预警区的一个条件矩母函数的具体表达式以解释结果.需要特别指出的是，所研究模型的盈余过程不具有平稳增量性，只能充分运用盈余过程的强马氏性，研究了一类具有马氏调制费率的复合Poisson-Geometric过程风险模型的预警区问题，丰富了保险公司对预警区问题的研究，对保险公司考虑财务预警系统以及保险监管部门设计某些监管指标系统具有一定的参考指导价值.

关键词 概率论与数理统计；条件矩母函数；微积分方程；马氏调制；预警区；复合Poisson-Geometric风险模型

中图分类号 O211.6 文献标识码 A

Abstract The duration of negative surplus for compound Poisson-Geometric risk model with Markov-modulated premium rates is considered. By taking full advantage of the strong Markov property of the surplus process， an integral-differential equation of a conditional moment generating function for the first duration of negative surplus has been obtained. Under the two states model， when the claim is exponential distribution， the explicit expression of a conditional moment generating function for the first duration of negative surplus is given to illustrate the results. Particularly wish to point out， the surplus process of the research model is not stable and incremental， the strong Markov property of the surplus process can be fully used， the problem of the duration of negative surplus for compound Poisson-Geometric risk model with Markov-modulated premium rates is researched for the first time. It has enriched the insurance companies to the study of the duration of negative surplus. It has a certain reference value to consider the financial early warning system for insurance companies and to design certain supervision index system for insurance supervision department.

Key words probability and mathematical statistics； conditional moment generating function；integral-differential equation； Markov-modulated； Duration of negative surplus； compound Poisson-Geometric risk model

1 引 言

破产概率问题是风险理论研究中的核心问题之一，可以为保险公司决策者提供一个早期的风险预警.风险理论中的“破产”并不意味着保险公司真正破产，只是保险公司面临着暂时的财务危机，假如保险公司可以从外部（或公司内部各业务之间）得到帮助，使其在未来的某个时间从负盈余状态恢复过来实现扭亏为盈的时间称为预警区.钟朝艳（2012）研究了一类复合Poisson-Geometric风险模型下预警区问题，得到第一个预警区的一个条件矩母函数所满足的微积分方程，并在指数理赔情形下给出其精确解[1].钟朝艳（2014）将利率因素引入一复合Poisson-Geometric风险模型，得到第一预警区的一个条件矩母函数所满足的微积分方程，并在指数理赔的特殊假设下得到其精确解[2].崔巍和余旌胡（2012）讨论了一类推广的复合Poisson-Geometric风险模型的预警区问题，此模型保费收入过程是复合Poisson过程，理赔次数过程是Poisson-Geometric过程[3].近年来，马氏调制费率的风险模型引起了学者们的广泛关注.向阳和刘再明（2002）讨论了具有马氏调制费率的复合Poisson风险模型，对于给定的初始状态和初始分布，给出了条件破产概率ψi（u）和最终破产概率ψ（u）所满足的积分方程，并给出了零初始资产时破产概率ψ（0）的明确表达式[4].受此启发，考虑一类具有马氏调制费率的复合Poisson-Geometric过程风险模型，充分利用盈余过程的强马氏性，得到第一个预警区的一个条件矩母函数所满足的微积分方程，并进一步在两状态情形下，当理赔额的分布为指数分布时得到了第一个预警区的一个条件矩母函数的具体表达式以解释结果.

5 结 论

充分利用盈余过程的强马氏性，运用有别于传统鞅方法的方法，讨论了一类具有马氏调制费率的复合Poisson-Geometric过程风险模型的预警区问题，得到第一个预警区的一个条件矩母函数所满足的微积分方程，并进一步在两状态情形下，当理赔额的分布为指数分布时给出其精确解，丰富了保险公司对预警区问题的研究，对保险公司考虑财务预警系统以及保险监管部门设计某些监管指标系统具有一定的参考指导价值.

参考文献

[1] 钟朝艳. 复合Poisson-Geometric 风险模型的预警区问题[J].经济数学，2012，29（2）：83-86.

[2] 钟朝艳. 一类常利率复合Poisson-Geometric 风险模型的预警区问题[J].西南师范大学学报（自然科学版）2014，39（3）：36-40.

[3] 崔巍，余旌胡. 一类推广的复合Poisson-Geometric 风险模型下预警区问题的研究[J]. 数学物理学报，2012，32A（1）：27-40.

[4] 向阳，刘再明. 具有马氏调制费率的复合Poisson风险模型的破产概率[J]. 经济数学，2002，19（4）：47-51.

[5] 毛泽春，刘锦萼.索赔次数为复合Poisson-Geometric过程的风险模型及破产概率[J].应用数学学报，2005，28（3）：419-428.endprint