浅谈解答解析几何综合题中简化运算的若干技巧

李萍

摘 要：在历年的高考中，解析几何综合题是命题热点之一。该类试题一般以解析几何知识为载体，涵盖函数、不等式、数列、三角等各方面知识，涉及知识点颇多，具有题型多样性、方法灵活性、计算复杂性、思维严密性等特点，对学生解题能力考查的层次要求较高。同学们在解答时往往半途而废，甚至无从下手。在学习中，学生要善于总结平时探索、讨论所得的解题思想、方法和策略，提升解题技巧。在解题时认真审题，从宏观上把握，微观上突破，采取合理、正确的解题技巧。本文就解析几何综合题中简化运算的若干技巧作了介绍，以期对一线师生们有所帮助。

关键词：解析几何综合题；简化运算；技巧；数形结合；设而不求

学习高中数学往往都有同感：高中数学难，解析几何综合题更是其中的难题。解析几何综合题表现为条件多、题干长，往往有两问或三问，第二问一般是开放性、探索性问题，有利于考查学生综合分析解决问题的能力。该题目常以压轴题呈现，每年必考，经久不衰，是高考的主干内容之一。很多学生惧怕此类题目，有的直接放弃第二问。解答此类题目时需要运用多种知识和多种数学手段，将各种基本公式、定义、法则熟记于心，另外要想做到解题准确且迅速，还需要掌握一些技巧和方法。如：全面认真审题，逐一进行转化；设而不求，整体代换，整体求出；数形结合、直观显示、尽量减少运算量；研究图形特殊性、先知后证；判别式与韦达定理；向量法；求根公式等。解析几何综合题自有路径可循，方法、技巧可依，需要我们在日常学习中不断总结和突破。

一、全面认真审题，逐一进行转化

针对解析几何综合题信息量大、字母符号繁多、图形复杂等特点，学生对开放性、探索性的问题，没有明确的解题目标，很难找到解题方向，往往比较茫然。所以，认真审清题意、找到解题的切入口是解题的关键前提。全面认真审题要做到“三审”：审条件、审图形、审结论，并注意挖掘隐含条件。仔细理清题干给出的是哪一种或哪几种曲线以及它们之间是怎样的位置关系，其方程是已知的还是含字母待求的等，要对照图形弄清各种曲线之间的关系，如果题目没有明确给出图形，要边读题边画出图形，以便于理清题目，最后，通过审结论明确解题目标。但是，因为条件和结论相距甚远，同学们在解题的时候很可能找不到解题的方向，鉴于此问题，可对条件逐一进行转化，朝着结论指示的解题目标转化，与此同时转化结论，一旦对接上，就找到了解决问题的切入口。

二、设而不求，整体代换，整体求出

在解答解析几何综合题的过程中，巧妙地设某些变量，如点的坐标、圆锥曲线方程、直线方程等，尽量减少变量的个数，是顺利解题的开始，而解答过程中的运算是能否解题成功的关键。要以解题的总目标为中心，运用设而不求的运算技巧，实施整体代换、整体化简、整体求出的整体策略，化繁为简，解题自然水到渠成、事半功倍，体现了整体思维和全局观念的优越性。在此过程中，要特别注意挖掘题目的隐含条件。

三、数形结合，直观显示，尽量减少运算量

解析几何综合题体现了解析几何在数与形相互转化的数学思想，以坐标法为基础，建立以代数方法研究几何问题的知识体系，核心思想是数形结合。同学们在解题的过程中，善于利用图形特点和性质，往往可以简化运算，使解答更加容易、便捷。

四、研究图形特殊性，先知后证

紧紧抓住问题的特殊性进行猜想是一种哲学方法。在解析几何的定点、定值等问题中，面对复杂的式子，同学们往往不知所向，解答过程中变得茫然、被动，但是通过研究图形的特殊性、临界状态，由此先得出结论，再对所得结论进行一般情形下的证明。此方法可为我们的解题指明方向，问题不再烦琐，而是迎刃而解。

五、判别式与韦达定理

轨迹问题的解题困难在于多动点的困扰，同学们往往束手无策。其实，面对此类题目，同学们应该想到通过参数法来求解。在解题过程中，首先选定参数，之后想办法将点的横坐标、纵坐标用参数表达，最后通过消参实现成功解题。

由方程组进行消元，产生一个标准的有关一个变量的一元二次方程，易于想到其判别式与韦达定理模块思维。在解题的过程中，难点在于引出参，活点在于应用参，重点在于消去参，而引参、用参、消参是解答解析几何综合题的一条有效途径。

六、向量法

向量法是用向量的方法解题或做题目，利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值。通过此方法，可以将复杂的问题简单化，便于同学们理解和计算，这样显然要比单纯利用解析几何知识建立等量关系更简单一些。

七、求根公式

范围问题不等关系的建立有很多途径，包括均值不等式法、判别式法、变量的有界性法、数形结合法、函数的性质法等，根据具体问题，选择合适的方法进行解答，定能简化运算，问题自然迎刃而解。

总之，在当前的高中数学教学中，教师往往过于强调死记硬背概念、定理和公式，而忽视了对知识进行提取或总结；重视讲解课本内容，而忽略了提高学生的解题技巧，缺乏了对学生数学素养的培养。本文介绍了解答解析几何综合题的一些策略和技巧，在解答解析几何综合题的过程中几乎都要用到以上策略。因为该类题目的长度大、运算量大、难度大，同学们即使找到切入口形成解题思路，还会出现解题失败的情况，如因某一步运算出错导致解题半途而废，前功尽弃，或顺着错误的结果继续解题导致会而不对，还会出现因对问题没有分析全面，考虑不周导致对而不全，白白丢分，十分可惜。具体表现为在消元转化为一元二次方程后忽略了对判别式的讨论，在设直线方程时忽略了斜率不存在的情况等，所以教师在平时的教学中，特别是针对此类题目，要注重培养学生细心缜密的做题习惯，引导学生掌握简便、有效的运算技巧，培养学生坚强的意志力，而不是遇到问题就放弃，或半途而废。在解题时，要有坚持到底就一定能成功的信心，因为当确定目标时，坚持比方法更重要。

高考犹如上战场，而解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，局部短暂的胜利并不是成功，切忌被局部纠缠而看不清问题的实质所在。见微知著，纵观全局，从局部入手，树立整体观念，在掌握通法通性的同时不应只形成一个个集体套路，解题时生搬硬套，缺乏分析，跟着感觉走，做到哪儿就算哪儿，而应该从宏观上去把握，从微观上去突破，讲究排兵布阵，运筹帷幄，在审题和解题的整体思路设计上下功夫，树立必胜的信心，不断克服解题过程中的困难。

以上解答解析几何综合题的思路和技巧告诉我们：多做多练，见多识广，可以增强我们的领悟能力；善于总结，可减少解题时的盲目性。解题过程中的应答自如，源自于平时学习中的日积月累，只有多练习、多探索、多总结，掌握各种技巧，做题时才能随机应变，使问题迎刃而解。

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（作者单位：湖南省郴州市一中）