函数极值点与零点平均数的较量

杨苍洲

福建省泉州实验中学　(362000) 　朱坤城福建省泉州第五中学　(362000)



函数极值点与零点平均数的较量

杨苍洲

福建省泉州实验中学(362000) 朱坤城福建省泉州第五中学(362000)

1.问题的提出

(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值；

图1

2.几个常见的平均数

两个正数x1,x2的常见的平均数有哪些呢？

关于两个正数x1,x2的平均数，《普通高中课程标准实验教科书》介绍了算术平均数与几何平均数，但是还有一些平均数常常隐藏于高考压轴题中．匡继昌教授在《常用不等式》中收录的关于两个正数的“平均”类型多达十九种，其中在中学数学常见的平均数有：

上述平均数之间满足不等关系H(x1,x2)≤G(x1,x2)≤L(x1,x2)≤E(x1,x2)≤A(x1,x2)≤S(x1,x2) ．

4.一点思考

本题中的极值点产生了偏移，于是产生了极值点与平均数的不等关系．在研究极值点与算术平均数、几何平均数的关系之后，我们选择其他平均数进一步缩小其范围．

著名的数学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个．因此，在数学解题研究中，我们要善于在问题的周边进行挖掘，提出新问题，解决新问题，使得解题走向深入．

[1]匡继昌．常用不等式[M]．济南:山东科学技术出版社(第四版)，2010．

[2]汪中明．罗新兵．例说函数背景下的不等式证明[J]．中学数学教学参考，2011(11)．

[3]陈宽宏．对数平均与高考压轴题[J]．数学通讯，2012(11)．