一类非线性热方程的时间周期解

邓　键， 尹景学

(华南师范大学数学科学学院， 广州 510631)



一类非线性热方程的时间周期解

邓键， 尹景学*

(华南师范大学数学科学学院， 广州 510631)

考虑一个边界上具有活塞项的非线性热方程的时间周期解问题，其中活塞项是一个时间周期函数．在过去的几十年，含有各种非线性源项的非线性扩散方程的齐次Dirichlet边值或Neumann边值问题的研究已经取得了丰富的成果，但对含有时间周期边界问题的研究很少．文中分别考虑了次线性、线性以及超线性情形下的周期解存在性，利用不动点方法和拓扑度方法，首先对次线性、线性情形，对任意的边值证明了大时间周期解的存在性；而对超线性情形，证明了当边值适当小时时间周期解的存在性．

时间周期解； 活塞； 存在性

考虑如下非线性热方程

(1)

具周期源的非线性热方程的时间周期解问题已经被广泛研究．例如，对如下问题

(2)

其中α(x,t)关于t是周期的．SEIDMAN[1]证明了q=0时方程(2)的非平凡的时间周期解的存在性；BELTRAMO和HESS[2]考虑了q=1的线性情形，证明仅对某些特殊的α(x,t)，方程(2)存在非平凡的时间周期解；对超线性情形的研究可见文献[3-5]．从这些结果可得，当1< q <(N+2)/(N-2)时，方程(2)存在非平凡的时间周期解；当q≥(N+2)/(N-2)时，如果Ω是星型区域，则必不存在非平凡的周期解，但此时若Ω是非星型区域，则可能会存在非平凡的时间周期解[6]. 而对如下问题

其中f(x,t)是一个时间周期函数．当f适当小时，对任意的q>1总存在时间周期解[7]．除此之外，还有一些关于退化或奇异扩散方程的周期解问题的研究[8-11].

下面给出本文的主要定理：

为方便起见，以下证明用C和Ci表示不同的常数，它们至多只依赖于φ(t)、φ′(t)、 T和q.

定义算子T:L∞(QT)×[0,1]→L∞(QT),

T(v,σ)=u,

其中，u是如下线性问题

(3)

的周期解．由抛物方程的古典理论可知问题(3)存在唯一的周期解，即算子T的定义是合理的．进一步可得如下引理．

引理1算子T是一个全连续算子．

下面验证T(v,0)≡0．实际上，对问题(3)的第1个方程两端同乘以u并在(0，1)×(0,T)上积分,可得

由Poincare不等式，可得u≡0．

引理2假设q≤1，若T(u,σ)=u，则存在常数C，使得

且有|u|C1/2,1/4≤C.

证明在问题(3)中以u代替v,对问题(3)两端分别同乘以|u|r-1u和uxx, 然后在(0,1)上分别积分,可得

(4)

-σq+1|φ|q-1φux(1,t)+σφ′(t)ux(1,t).

(5)

在式(4)中取r=1,可得

(6)

|φ(t)|q-1φ(t)+σφ′(t)ux(1,t)+σux(1,t)φ(t)≤

(7)

由问题(3)的左边值条件，可得

(8)

(9)

(10)

当q=1时，把式(9)、(10)代入式(7)可得

(11)

当q≠1时，把式(8)、(10)代入式(7)可得

(12)

取ε=1/4，可得

C(|φ(t)|2 q+|φ′|2+|φ|2).

(13)

则当q<1时，进一步可得

C(1+ |φ(t)|2q+ |φ′|2+ |φ|2).

(14)

结合式(11)、(14), 从0到T积分可得，当q≤1时，

由Sobolev嵌入定理，进一步可得

(15)

在问题(3)两端同乘以ut，并在(0,1)×(0,T)上积分，结合式(10)可得

(16)

|u|C1/2,1/4≤C‖u‖W2,12≤C.

(17)

综上可得引理2成立．

下面考虑q>1的情形．我们利用拓扑度方法证明周期解的存在性．首先，有如下能量估计式．

引理3假设q>1. 若T(u,σ)=u，则

|φ′|2+|φ|2).

证明假设T(u,σ)=u．由式(7)可得

C(|φ(t)|2q+|φ′|2+|φ|2).

(18)

从0到T积分可得

|φ′|2+|φ|2).

则

|φ′|2+|φ|2).

由式(16)、(10)，进一步有

下面给出定理1的证明:

时，显然有(I-T(·,σ))(∂Bη0(0))≠0．又注意到T(u,0)≡0，故由拓扑度的同伦不变性可得

deg(I-T(·,1),Bη0(0),0)=

[1]SEIDMANTI.Periodicsolutionsofanon-linearparabolicequation[J].JournalofDifferentialEquations,1975, 19(2):242-257.

[2]BELTRAMOA,HESSP.Ontheprincipaleigenvalueofaperiodic-parabolicoperator[J].CommunicationsinPartialDifferentialEquations, 1984, 9:919-941.

[3]ESTEBANMJ.Onperiodicsolutionsofsuperlinearparabolicproblems[J].TransactionsoftheAmericanMathematicalSociety,1986, 293(1):171-189.

[4]ESTEBANMJ.Aremarkontheexistenceofpositiveperiodicsolutionsofsuperlinearparabolicproblems[J].ProceedingsoftheAmericanMathematicalSociety,1988, 102(1):131-136.

[5]QUITTNERP.Multipleequilibria,periodicsolutionsandaprioriboundsforsolutionsinsuperlinearparabolicproblems[J].NonlinearDifferentialEquationsandApplications, 2004, 11(2):237-258.

[6]DENGJ.Existenceofpositiveradialsolutionsforanonlinearellipticprobleminannulusdomains[J].MathematicalMethodsintheAppliedSciences, 2012, 35(13):1594-1600.

[7]HIRANON,MIZOGUCHIN.Positiveunstableperiodicsolutionsforsuperlinearparabolicequations[J].Procee-dingsoftheAmericanMathematicalSociety, 1995, 123(5):1487-1495.

[8]GIGAY,MIZOGUCHIN.OntimeperiodicsolutionsoftheDirichletproblemfordegenerateparabolicequationsofnondivergencetype[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications, 1996, 201(2): 396-416.

[9]MIZOGUCHIN.Periodicsolutionsfordegeneratediffusionequations[J].IndianaUniversityMathematicsJournal,1995, 44(2): 413-432.

[10]YINJX,JINCH.Periodicsolutionsoftheevolutionaryp-Laplacianwithnonlinearsources[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications, 2010, 368(2): 604-622.[11]JINCH,YINJX.Periodicsolutionsofanon-divergentdiffusionequationwithnonlinearsources[J].DiscreteandContinuousDynamicalSystems:SeriesB,2012,17:101-126.

【中文责编：庄晓琼英文责编：肖菁】

Time Periodic Solution to A Nonlinear Heat Equation

DENG Jian， YIN Jingxue*

(School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

A nonlinear heat equation with a piston on the boundary is discussed, where the piston term is a time-periodic function. In the past several decades, the study of time periodic solutions for all kinds nonlinear diffusion equations with nonlinear sources have achieved fruitful results, but there are very few results for the study of the diffusion equations with time periodic boundary. The linear, sublinear and superlinear cases are studied respectively, and it is shown that for the sublinear case and linear case, there always exists time periodic solution for any piston; while for the superlinear case, time periodic solution exists when the boundary value is small.

time periodic solution; piston; existence

2016-01-13《华南师范大学学报(自然科学版)》网址：http://journal.scnu.edu.cn/n

国家自然科学基金项目(11471127, 11371153)；广东省高等学校优秀青年教师培育计划项目(HS2015007)；2015年广东省普通高校青年创新人才项目(2015KQNCX019)；广州市珠江科技新星专项基金项目(2013J2200064)；华南师范大学青年教师培育基金项目(2012KJ001)

尹景学，教授，长江学者，Email: yjx@scnu.edu.cn.

O175.2

A

1000-5463(2016)03-0014-04