数学课堂教学设计的“殊途各异”

许天宝

每年各地区都会展开各种各样教研活动，其中不乏一些同课异构课，选手展示了独特的教学风格与精彩的教学过程.下面笔者以最近的一次教研活动同课异构课“动点轨迹的探求”为例，探讨数学课堂教学的有效性.为便于区分，以下分别称呼两位教师为“教师甲”与“教师乙”.

一、开场篇

在课堂教学的引入方面，两位教师采用了不同的引入，教师甲借助图片展示生活中四处可见的轨迹曲线的影子，让学生感受数学就在我们身边，感受轨迹曲线的动态美、和谐美、对称美，激发学生的学习兴趣.教师甲提问：生活中有很多漂亮的轨迹曲线的影子，我们希望通过数学语言的形式将它们表达出来，那么通过前一节课的学习，同学们求轨迹方程的一般步骤是什么？学生回答：建立适当的坐标系后，设动点的坐标P（x，y），寻求等量关系，列出动点相关的约束条件A（M），在将其坐标化并化简，即f（x，y）=0.教师甲：说得很好，那这节课我们就“遇到具体问题时会用哪些方法来求轨迹方程”继续进行探讨与总结.

教师乙先请学生回顾曲线与方程的定义及求轨迹方程的一般步骤，接着就给出一道开放性问题（略），激起学生的探知兴趣.

二、探索篇

教师甲采用“抛砖”四个问题的解决“引玉”学生求轨迹方程的四种基本方法：直接法、转移代入法、定义法和消参法，将学生的问题解决的作品通过幻灯片进行展示，并点评阶段小结.（问题1：已知线段|AB|=2，动点P分别与A、B相连，所得连线的斜率之积为-2，求点P的轨迹方程.问题2：已知点A是圆x+y=16上的动点，一个定点M（8，0），动点P是线段MA的中点，求点P的轨迹方程.问题3： 已知动圆M和圆C1：（x+1）2+y2=36内切，并和圆C2：（x-1）2+y2=4外切，求动圆圆心M的轨迹方程.问题4：已知动直线L1： ax+y+1=0，L2： x-ay-1=0，求L1和L2的交点P的轨迹方程.）

教师乙提出一个开放性问题：已知△ABC中，∠A、∠B、∠C对应的边分别是BC、AC、AB，其中AB=4 .请你建立适当的坐标系，并添加适当的条件，求出顶点C的轨迹方程.看到题目沉寂了一段时间后，一个学生提出：添加条件∠C=90°.教师乙鼓励学生将思路写下来，并实物投影了其中两个学生不同的解答过程，进行点评整理，比较用直接法和定义法的优劣区别.随即教师乙进行变式教学.变式1：求此时△ABC的重（外）心G的轨迹方程.与学生一起找到等量关系，列出动点相关的约束条件重心，教师乙边讲边写，师生共同求出重心的轨迹方程.教师乙点评指出：刚才用的是转移代入法.变式2：已知两线L1：y = k（x+2），L2：y =-1k·（x-2），求出两直线交点P的轨迹方程.学生提出多种方法后，教师乙用消参法板书了解题过程，又指出该题也可以用勾股定理解，也可以用圆的知识解，也可以用面积关系解，还可以用向量法解.教师乙让学生添加不同条件以及变式训练的方法，总结出求轨迹方程的几种基本方法，同时将学生的思想板书在黑板上.

三、结尾篇

教师甲的课堂设计中没有课堂总结的环节，但在每个问题提出解决后都做了一些小结.

教师乙最后设置了课堂总结的教学环节，并且让学生从三方面谈谈本节课的收获.知识：求动点轨迹方程的过程.方法：直接法、转移代入法、几何法、定义法和消参法.情感：问题的解决不应拘泥于一格.

四、“殊途各异”，智者见智，各有千秋

1.课堂伊始迅速切入主题.两位教师在课堂教学的伊始阶段都采用了不同的引入手段.有效的课堂教学应该让课堂伊始迅速切入主题.上述两位教师在这方面处理比较精炼，教师甲在展示一些美丽曲线后勾起学生对求出曲线方程的欲望，继而马上回顾了求轨迹方程的一般步骤，顺势提出了这节课的主题“求轨迹方程继续进行探讨与总结”.教师乙则是在简单回顾曲线与方程的定义及求轨迹方程的一般步骤后，给出一道开放性问题，激起学生继续探知的兴趣.

2.课堂开放性问题添色彩.在课堂教学中，如果设计一些开放性问题，不仅能够培养学生的创新意识，还能够培养学生的综合能力.学生为自己能自主构建欣喜不已，再一次让学生感受到这堂数学课后满满收获的兴奋.通过两位教师精心设置的开放性问题，丰富了学生对数学的感受，拓宽学生的视野，培养了学生的数学发现、数学建构和创新能力.