对『计数原理』中几个问题的分析

安徽省合肥一六八中学　陆勇

对『计数原理』中几个问题的分析

安徽省合肥一六八中学陆勇

“计数原理”是高中数学的重要内容之一，以“计数原理”为背景的试题来源广泛，其解题过程对思维的条理性提出了较高的要求。本文就计数原理中几个值得注意的问题进行分析。

一、关于“方法数”的理解

计数原理分为分类加法计数原理和分步乘法计数原理两种。根据教材中对两个原理的概括，我们可以认为，计数原理研究的是“完成一件事情的方法数”。何为“不同的方法”？关键要看方法之间是否有区分度：只要有区分，就是不同的方法；没有任何区分，则为同一种方法。

例1 4个小球装入3个盒子中，要求每盒均不空，则下列几种情况下各有多少种方法？

（1）球均相同，盒子均相同。

（2）球各不相同，盒子均相同。

（3）球各不相同，盒子也各不相同。

解析（1）因为4个球是相同的，3个盒子也是相同的，则仅唯一一种方法，即一个盒子装2个球，另两个盒子各装1个球。

（2）因为盒子是相同的，而球不一样，所以我们只需考虑到哪两个球同盒即可，所以有=6种方法。

（3）盒子与球均不相同，我们既要考虑哪两个球同盒，又要考虑装入哪个盒子，所以方法数为=36种。

变式在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖。将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种。

分析问题研究的是获奖情况，那么5张无奖的奖券就是没有区分度的，我们只需考虑3张有区别的奖券如何分配即可：

二、关于计数原理中的解题原则

排列与组合综合问题对思维的条理性有着较高的要求，我们在解题时，需要理解如下基本原则。

1.特殊优先原则：在有限制条件的排列组合问题中，有特殊要求的即为“特殊”，包括特殊元素、特殊位置，先考虑有特殊要求的元素（或位置），再考虑其他元素（或位置），这就是特殊优先原则。特殊优先原则在大多数题目中都有所体现。

2.正难则反原则：正难则反是数学解题的基本原则之一，在排列组合问题中也同样重要。

例2甲、乙、丙等6人中选出3人分别担任语文、数学、英语科代表，则甲、乙、丙3人至少有1人入选的方法有多少种?

分析我们可以考虑问题的反面，研究甲、乙、丙均未当选情况，有种方法，则满足条件的 方法数为=114种。

3.先组后排原则：在有限制条件的排列问题中，可以先取出参与排列的元素，再去安排这些元素，这是分步计数原理的典型应用。

例3从5位男实习教师、3位女实习教师中选派3人分别担任3个班的实习班主任，要求男女都要有，不同的选派方法有多少种？

分析先选出满足条件的教师，再分配到3个班级，则方法数有（）=270种。

4.模式化原则：针对一些常见的条件，比如相邻问题、定序问题等，总结出一些固定的转化模式，这些模式可以作为解题时参考和套用的模式。思考下例并体会模式化的妙用。

例4（1）道路一侧排列有10盏灯，为节约用电而又不影响照明效果，要求熄灭4盏，但熄灭的4盏灯不能相邻且不在两端，有多少种不同的方法？

（2）一排10个座位，4人入座，要求每个人两侧都有空位，有多少种不同的坐法？

（3）6男4女共10人排成一排，要求女生不相邻且不排在两端，有多少种不同的排法？

分析为体会模式化原则的价值，我们倒着分析3个小题。

三、几个值得注意的解题模式

1.固定间隔的不相邻问题

不相邻问题可用插空法解决，相邻问题则可用捆绑法解决，这是最常规的解题模式。但是对于固定间隔的不相邻问题，应该用捆绑法解决，将目标元素以及间隔元素选出后捆绑。

例5 7人站成一排，若甲、乙2人之间间隔2人，则方法数有多少？

分析先选出2人，与甲、乙捆绑，然后先外排再内排，方法数为=960种。

2.同一集合中抽取元素平均分组问题

例6（1）将篮球队10名队员平均分成2队，正、副教练各带1队，进行对抗赛，有多少种不同的分法？

（2）将篮球队10名队员平均分成2队进行对抗赛，有多少种不同的分法？

分析对于第（1）题，只需正教练在10人中选出5人即可，故方法数为=252种。对于第

由此，我们可以体会到，从同一个集合中每次抽取相同数量的元素，抽取的各组是带有顺序区别的，如果抽取相同数量元素组成无区别的组，就要去除顺序带来的不同。

例7某高校9名免费师范生参加实习，9人中有3名男生，现计划分为3个实习小组，每组3人，求满足下列要求的分法各有多少种。

（1）3名男生在不同的组。

（2）3名男生同组。

练习

1.（1）数轴上点A从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，若6秒后移动到刻度2的位置，求点A的移动方法有多少种？

（2）数列{an}中共有5项，其中a1=0，a5=2，|an+1-an|=1，n=1，2，3，4，则满足条件的不同数列有多少个？

［提示：（1）移动6步，其中2步向左，答案：15种；（2）套用（1）的模式解题，答案：4个］

2.现有2个红球，3个黄球，4个白球，同色球不加区分，将此9个球排成一排，方法数有多少？

［提示：参考例4的思维模式，答案：1260种］

3.（1）某校在高二年级3个班级开展评优活动，共计5个评优指标，要求每班至少一个指标，指标分配方案有多少种？

（2）上题中，若5个评优指标为2个优秀团员，3个三好学生，则指标分配方案有多少种？

［提示：（1）隔板法，答案：6种；（2）27种］