一类拟变分不等式与Wiener-Hopf方程的等价性及其算法研究

孙 　 杰

(南京财经大学 应用数学学院，江苏 南京 210003)



一类拟变分不等式与Wiener-Hopf方程的等价性及其算法研究

孙 杰

(南京财经大学 应用数学学院，江苏 南京 210003)

在Hilbert空间中研究一类拟变分不等式与Wiener-Hopf方程的等价关系，利用等价关系构建求解这类拟变分不等式的投影迭代算法，并对其收敛性进行分析。

拟变分不等式；Wiener-Hopf方程；算法

设H是Hilbert空间，其内积和范数分别用〈·,·〉，‖·‖表示。拟变分不等式问题QVIP(T,K)最早是由Benousan和Lions[1]介绍的，研究问题为找一点u∈H，使得〈T(u),v-u〉≥0,∀v∈K(u)，其中T∶H→H是一映射，K∶H→2H是集值映射，且对∀u∈H，K(u)是闭凸集。

本文考虑的拟变分不等式问题为找一点u∈H，使得g(u)∈K(u)，且

〈T(u),v-g(u)〉≥0,∀v∈K(u)

(1)

其中T,g∶H→H是连续映射，K∶H→2H是集值映射，且对任意的u∈H，K(u)是闭凸集。上述拟变分不等式问题记为QVIP(T,g,K)。这类拟变分不等式问题由Aussel在2013年提出并研究，可以看作经典拟变分不等式的一个推广。Aussel[2]在Rn空间中假设QVIP(T,g,K)有解的情况下给出了解的误差界，并未涉及解的存在性与算法研究。郭小亚等[3]在Rn空间中讨论了QVIP(T,g,K)解的存在性与算法，并将其运用到交通问题中。本文主要是在Hilbert空间中研究QVIP(T,g,K)与Wiener-Hopf方程的等价关系，利用等价关系构建求解这类拟变分不等式的解的迭代算法，并对算法的收敛性进行分析。

下面先介绍一些概念、引理知识等。

定义1映射T∶H→H是Lipschitz连续的当且仅当存在一个常数β>0，使得

‖T(u)-T(v)‖≤β‖u-v‖，∀u,v∈H。

定义2映射T∶H→H是α-强单调的当且仅当存在一个常数α>0，使得

〈T(u)-T(v),u-v〉≥α‖u-v‖2,∀u,v∈H。

定义3映射T在H上关于g是η-强单调的当且仅当存在一个常数η>0，使得

〈T(u)-T(v),g(u)-g(v)〉≥η‖u-v‖2,∀u,v∈H。

定义4记PK(u)为空间H到K(u)的投影，且令QK(u)=I-PK(u)，其中I为恒等映射，如果g-1存在，求z∈H使得

Tg-1PK(u)z+ρ-1QK(u)z=0

(2)

称形如(2)式的这类方程为Wiener-Hopf方程。

引理1设K(u)是H中的一个闭凸集，对于给定z∈H,u∈K(u)，不等式〈u-z,v-u〉≥0,∀v∈k(u)成立当且仅当u=PK(u)z。

注1这里的投影算子PK(u)是非扩张的，即‖PK(u)x-PK(u)y‖≤‖x-y‖,∀x,y∈H。

假设1[4]对于任意给定的u,v,w∈H，投影算子PK(u)满足‖PK(u)w-PK(v)w‖≤γ‖u-v‖,这里的γ>0是一个正常数。

下面给出Wiener-Hopf方程与QVIP(T,g,K)的等价性及其算法。

定理1若u∈H,g(u)∈K(u)是QVIP(T,g,K)的解当且仅当Wiener-Hopf方程存在解z∈H，

z=g(u)-ρT(u)

g(u)=PK(u)z

(3)

其中PK(u)为空间H到闭凸集PK(u)的投影，且常数ρ>0。

注2这里假设映射g可逆，g-1为g的逆映射。

证明令u∈H，使得g(u)∈K(u)为拟变分不等式(1)的解。由引理1可得

g(u)=PK(u)[g(u)-ρT(u)]，

QK(u)[g(u)-ρT(u)]=g(u)-ρT(u)-PK(u)[g(u)-ρT(u)]=-ρT(u)=

-ρTg-1PK(u)[g(u)-ρT(u)]，

若z=g(u)-ρT(u)，则可得Tg-1PK(u)z+ρ-1QK(u)z=0。

相反，令z∈H为Wiener-Hopf方程(2)的解，则

ρTg-1PK(u)z=-QK(u)z=

-[I-PK(u)]z=PK(u)z-z

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(4)由(4)式和引理1可得0≤〈PK(u)z-z，v-PK(u)z〉=〈ρTg-1PK(u)z,v-PK(u)z〉，从而可得〈Tg-1PK(u)z,v-PK(u)z〉≥0,∀v∈K(u)成立。因此g(u)=PK(u)z为拟变分不等式(1)的解，并且由(4)式可以得到z=g(u)-ρT(u)。

通过上面的证明，得到求解QVIP(T,g,K)与求解Wiener-Hopf方程是等价的，因此对Wiener-Hopf方程进行变形，可以得到几个求解QVIP(T,g,K)的迭代算法。

(a)记(2)式中的Wiener-Hopf方程移项变形为QK(u)z=-ρTg-1PK(u)z，将 (3) 式及QK(u)=I-PK(u)代入上式，可到z=PK(u)-ρTg-1PK(u)z=g(u)-ρT(u)，由此可得迭代算法1。

算法1对已知的z0∈H，由如下迭代式计算zn+1，

(5)

(b)记(2)式中的Wiener-Hopf方程移项变形为Tg-1PK(u)z=-ρ-1QK(u)z，两端同时加上QK(u)z得QK(u)z+Tg-1PK(u)z=-ρ-1QK(u)z+QK(u)z。又由QK(u)=I-PK(u)得，

z-PK(u)z+ρTg-1PK(u)z=(1-ρ-1)QK(u)z，

即z=PK(u)z-ρTg-1PK(u)z+(1-ρ-1)QK(u)z=

u-ρT(u)+(1-ρ-1)QK(u)z，结合(3)式得算法2。

算法2对已知的z0∈H，由如下迭代式计算zn+1，

(c)如果T是一个线性可逆映射，则Wiener-Hopf方程(2)式由关系式QK(u)=I-PK(u)可得Tg-1z[I-QK(u)]z+ρ-1=0，对该式进行整理：

Tg-1z-Tg-1QK(u)z+ρ-1QK(u)z=0,

Tg-1z=(Tg-1+ρ-1)QK(u)z,

T(z)=(T+ρ-1g)QK(u)z,

最终得到

z=(I-ρ-1gT-1)QK(u)z。

算法3对已知的z0∈H，由如下迭代式计算zn+1，

zn+1=(I-ρ-1gT-1)QK(un)zn，ρ>0。

注3若K(u)=K，则算法1、算法2、算法3退化为广义变分不等式投影迭代算法(收敛性证明参见文献[5])

若g=I，则算法1、算法2、算法3退化为经典拟变分不等式的投影迭代算法。(收敛性证明参见文献[6-7])

以下将在一定条件下证明算法1的收敛性，同理可证算法2、算法3的收敛性。

定理2T∶H→H关于g是η-强单调且是β-Lipschitz连续的，g∶H→H可逆且是σ-强单调和δ-Lipschitz连续的，若假设1成立并且存在一个常数ρ>0使得

(6)

证明令u∈K(u)是拟变分不等式(1)的解，那么由定理1得到

(7)

因此结合(5) 式得‖zn+1-z‖≤(1-αn)‖zn-z‖+αn‖g(un)-g(u)-ρ[T(un)-T(u)]‖。

由T在H上关于g是η-强单调的且是β-Lipschitz连续的，g是δ-Lipschitz连续的，得到

‖g(u1)-g(u2)-ρ[T(u1)-T(u2)]‖2≤

‖g(u1)-g(u2)‖2+ρ2‖T(u1)-T(u2)‖2-

2ρ〈T(u1)-T(u2),g(u1)-g(u2)〉≤δ2‖u1-u2‖2+ρ2β2‖u1-u2‖2-2ρη‖u1-u2‖2=(δ2+ρ2β2-2ρη)‖u1-u2‖2，

由(5)式，(7)式及假设1，同时g是σ-强单调和δ-Lipschitz连续的，可得‖un-u‖≤‖un-u-[g(un)-g(u)]‖+

‖PK(un)zn-PK(u)z‖≤‖un-u-[g(un)-g(u)]‖+

‖PK(un)zn-PK(un)z‖+‖PK(un)z-PK(u)z‖≤

θ1<1，因此 ‖zn+1-z‖≤(1-αn)‖zn-z‖+αnθ1‖zn-z‖≤

[1-(1-θ1)αn]‖zn-z‖≤

因此{zn}强收敛于z。

[1] Bensousan A, Lions J. Applications Des Inequations Variationelles En Controle Stochastique[M]. Paris:Dunod, 1978.

[2] Aussel D, Gupta R, Mehra A. Gap funtions and error bounds for inverse quasi-variational inequalities problems[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2013, 407(2): 734-748.

[3] Guo Xiaoya, Zhang Congjun. Some reaearch on the quasi-variational inequality and its application in traffic[J]. Mathematica Applicata, 2015, 28(4): 743-752.

[4] Noor M A. On general quasi-variational inequalities [J]. Journal of King Saud University-Science, 2012, 24(1): 81-88.

[5] Noor M A. Differentiable nonconvex functions and general variational inequalities [J]. Applied Mathematics and Computation, 2008, 199(2): 623-630.

[6] Noor M A. Some recent advances in variational inequalities[J]. New Zeal J Math,1997, 26(1): 53-80.

[7] Noor M A. Generalized multivalued quasi-variational inequalities[J]. Computers and Mathematics with Applications, 1996, 31(12): 1-13.

Some Research of the Equivalence with Wiener-Hopf Equations and the Algorithm on a Class of Quasi-variational Inequality

SUN Jie

(School of Applied Mathematics, Nanjing University of Finance & Economics, Nanjing, Jiangsu 210003, China)

In this paper, we establish the equivalence between a class of the Quasi-variational inequality and the Wiener-Hopf equations in Hilbert space. Then we use the equivalence to construct the algorithms for this Quasi-variational inequality, and give convergence analysis.

Quasi-variational inequality; Wiener-Hopf equations; algorithms

2015-12-30

孙杰，男，江苏淮安人，南京财经大学应用数学学院硕士研究生，研究方向为非线性分析与经济应用。E-mail：304978554@qq.com

时间：2016-8-17 11:31

http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160817.1131.003.html

O178

A

1007-4260(2016)03-0008-03

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.03.003