也谈运用余弦定理解三角形的一类错误认识

本刊2014年第11期发表了施元兰老师的文章“运用余弦定理解三角形的一类错误认识”，[1]施老师对文中例3：在△ABC中，已知a=6，b=5，A=2B，则c的值是.给出了以下的解法1和解法2.

解法1：由正弦定理可求得cosB=35，然后求出sinB=45，sinA=2sinBcosB=2425，cosA=2cos2B-1=-725，所以sinC=sin（A+B），sinAcosB+cosAsinB=44125，再由正弦定理可求得c=115.

解法2：由正弦定理可求得cosB=35，再由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得52=62+c2-2×6×c×35，5c2-36c+55=0，解得c=5，或c=115.当c=5时，b=5，故c=b，又因为A=2B，所以2B+B+B=π，即B=π4，这与cosB=35矛盾，故c=5不合题意，舍去，所以c=115.

施老师在文章末说：由此例可知，“已知a，b和角B，常常可对角B应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，若该方程无实数解或只有负数解，则该三角形无解；若该方程只有一个正数解，则该三角形有一解；若该方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解，”这样的观念是错误的，即使该方程有两个正根，三角形也不一定有两解，还应该结合条件，利用三角形内角和定理、大边对大角等进行检验，以防增根混入.

实际上，边边角问题用余弦定理求解是完全正确的，也不会有增根混入，进而也用不着进行检验.鉴于笔者在教学中多次遇到过类似的问题，与学生交流时，发现学生根本没有过多思考，只是记住了要检验.又与其他数学老师交流，几乎所有的教师都承认对该类题没有深究.因此，对这类看似很简单的问题作些探究，有利于透彻理解问题的本质，有利于改进今后的教学.下面从三个方面作点探究，请指正.

1文中例3的题设不是边边角问题

参考文献

[1]施元兰.运用余弦定理解三角形的一类错误认识[J].中学数学杂志，2014（11）：60-61

作者简介唐良生，男，1963年生，湖南宁远人，中学高级教师，主要研究方向是课堂教学与解题研究.获《中学数学教学参考》解题竞赛一等奖，发表论文20多篇，还有近20篇论文获省市一，二等奖.