函数、导数问题参数讨论范围的逐层确定

徐道奎

函数问题的解决大多依赖于图象的分析，而准确地分析图象往往需要借助于导数这个工具. 其中通过对参数的讨论来分析导数的正负是难点，如何确定参数讨论的范围，也就是怎样对参数进行分类是解题的关键.参数讨论范围的界点是在动态探索过程中逐步确定的，解题时应该把握讨论的层次，逐步确定参数讨论的界点，确定参数讨论的范围，不可一蹴而就，也不能手忙脚乱，下面以近两年高考题为例分析说明.

1分层，实例探究

例1（2015年全国卷Ⅰ理科21）

已知函数f（x）=x3+ax+14，g（x）=-ln x.

（1）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；

（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），讨论h（x）零点的个数.

分析第二问由于x>1时，g（x）<0，函数h（x）没有零点，因此，只要分析区间（0，1]上h（x）的零点，而（0，1）上g（x）没有零点，实际上只要分析f（x）在（0，1]上的零点即可.分析f（x）的零点应该从分析其图像开始，用导数分析，必然要对参数a进行讨论，那么，如何确定参数讨论的界点呢？

第一层次：由a决定的函数单调性不同进行分类，因为f′（x）=3x2+a，显然，a≥0时，函数f（x）在定义域上单调递增，a<0时，f（x）在定义域（0，+∞）上有增有减，因此，0是对参数a讨论的最先确定的界点.由f（x）、g（x）的图像可知，a≥0时，函数h（x）只有一个零点；而a<0时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上有增有减，但在区间（0，1]上单调性如何呢，讨论进入下一层次.

第二层次：a<0时，f（x）在0，-a3上单减，-a3，+∞上单增，必然要讨论1与-a3的大小关系，以便确定f（x）在区间（0，1]上的单调性，此时，要将a分为a≤-3和-3

第三层次：（1）a≤-3时，函数f（x）在（0，1]上单减，函数最小值为f（1）=a+54，考虑其正负，对a的范围再细分为-54

（2）-3

鉴于以上分析，分别考虑a≥0、-54

综上，当a>-34或a<-54时，h（x）有一个零点；当a=-34或a=-54时，h（x）有两个零点；当-54

以上分析可以看出，对参数讨论的区间划分（范围确定）不是一步到位的，要层层递进，逐步分析.当然，讨论参数时层次的划分也不是固定不变的，不能死板教条.但在思考时一定要有层次性，通过各层次的分析使思路清晰，这样思维才有条理，解决问题才有章法.

例2 （2014年全国卷Ⅰ文科21）

设函数f（x）=aln x+1-a2x2-bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0.

（1）求b；

（2）若存在x0≥1，使得f（x0）

分析第二问存在x0≥1，使得f（x0）

由于f′（x）=1-ax（x-a1-a）x-1，讨论参数a涉及两个层次，一是f′（x）=0的两个根1与a1-a的大小比较，另一个是系数1-a的正负，但这两个层次可以一次融合在一起考虑，最终分a≤12、121三种情况，具体解答略.

在确定参数讨论的界点时分层考虑，能够使得思考的线路清晰，如果每个层次比较单一，可以把几个层次综合起来，一并考虑.例题2就是在思考时先分层分析，确定参数分类讨论范围时融合在一起.

例3（2015年山东卷理科21）

设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（1）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；

（2）若x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范围.

分析先求出导数

f′（x）=2ax2+ax+1-ax+1x>-1.

（1）分三个层次考虑，一是二次项系数，分a>0、a=0、a<0三种情况；二是在a>0、a<0两种情况下讨论Δ>0、Δ=0和Δ<0，具体结论是：在 a>0前提下，① a>89时Δ>0，②a=89时Δ=0，③00；三是在Δ>0情况下考虑导数为零的两个根x1，x2（x189时，两根均比-1大（其中x1<0），a<0时， x1<-1，x2>-1.综合三个层次得出讨论a的范围和对图象的分析，可得极值点个数为：a>89时两个极值点；0≤a≤89时无极值点；a<0时一个极值点.

（2）由（1）讨论的情况可知，a<0时，若 x→+∞，f（x）→-∞，不合题意；0≤a≤89时， f（x）在0，+∞上单调递增，且f（0）=0，符合题意；a>89时，要继续考虑下一个层次，导数为零的两根与0的大小关系（只要考虑大的那个根与0的大小），得出891时，f（x）在0，+∞上先减后增，必存在x0∈0，+∞，使得f（x0）<0，不合题意.综上，a的取值范围是0，1.

例4（2013年浙江高考理科22）

已知a∈R，函数f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3.

（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）当x∈0，2时，求f（x）的最大值.

分析（2）先求导，用图象分析.

f′（x）=3x2-6x+3a，显然，要通过f′（x）的正负分析f（x）在0，2上的单调区间，结合极值、最值、零点、端点函数值得出函数f（x）的图象，再得到f（x）的图象，f（x）的图象可由f（x）的图象“去下，下翻上”，因此，要分析极值、最值、端点函数值的正负，最终得到f（x）的最大值.

基于以上分析，可大致确定参数讨论要分三个层次：①决定导数正负情况层次；②决定极值、最值、端点函数值的正负层次；③决定极值、最值、端点函数值的大小层次.具体分析如下.

由于f′（x）是开口向上、对称轴为x=1的抛物线，当a≥1时，f′（x）≥0，f（x）在0，2上单调递增，f（0）≤0，f（2）>0，f（x）的最大值为max{f（2），-f（0）}=f（2）=3a-1；当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在[0，2]上单调递减，f（0）>0，f（2）<0，f（x）的最大值为max{-f（2），f（0）}=f（0）=3-3a；当0

当00，f（x1）+f（x2）>0，当13≤a<1时，f（2）≥0， f（x）的最大值为max{f（2），f（0），f（x1）}（*），当0

综合上述三个层次讨论的结果，得

f（x）max=3-3a，a≤0，

1+2（1-a）1-a，0

3a-1，a≥34.

对参数的分层讨论要视情而定，尤其要结合导数的特点，具体问题具体分析.

例5（2016年全国卷Ⅰ理科21）

已知函数f（x）=（x-2）ex+ax-12有两个零点.

（1）求a的取值范围；

（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2<2.

分析这里只分析第一问.

显然要通过求导来分析函数的图象，f′（x）=x-1ex+2a.

第一层次，要对导数f′（x）的零点个数进行讨论，分a=0，a>0，a<0三种情况.

a=0时，f（x）=（x-2）ex，函数只有一个零点，不合题意.

a>0时，f（x）在（-∞，1）上单减，在（1，+∞）上单增，由于f（1）=-e<0，f（2）=a>0，取b满足b<0且ba2b-2+a（b-1）2=ab2-32b>0，故f（x）存在两个零点.所以a>0符合题意.

a<0时，由f′（x）=0得x=1或x=ln（-2a），这时需要比较1与ln（-2a）大小，然后通过分析导数正负划分函数的单调区间，这样，对a的讨论进入了第二层次.

注意到在a<0时，当x≤1时，f（x）<0，即x≤1时函数f（x）没有零点.因此只要讨论f（x）在1，+∞上的零点.

当a≥-e2时，ln-2a≤1，故当x∈1，+∞时，f′（x）>0，所以f（x）在1，+∞上单调递增.所以f（x）不存在两个零点.

当a<-e2时，ln-2a>1，故当x∈1，ln-2a时，f′（x）<0；当x∈ln-2a，+∞时，f′（x）>0.所以f（x）在1，ln-2a上单调递减，在ln-2a，+∞上单调递增，且f（1）=-e<0，所以f（x）不存在两个零点.

综上，a的取值范围是（0，+∞）.

2分层，“层”从何来

分层逐步确定参数讨论的范围可以使我们有方向、有目标地解决问题，那么，怎样确定讨论的层次呢？用导数解决函数问题的关键是函数单调区间的确定，而函数单调区间的确定取决于对导数正负的分析，因此要围绕能够确定导数正负的条件进行分层（一般需要考虑导数恒非负、恒非正、有正有负几种情况），在解导数不等式时先对导数中最高项的系数进行讨论，再对导数有无零点和导数零点个数进行讨论，然后对导数零点与定义域区间端点的关系进行讨论，分析函数图象时还要讨论区间内极值最值情况等等，这些都是分层的依据.

二次函数、二次方程、二次不等式讨论的层次（如例题3）一般是先讨论二次项系数a，再讨论根的判别式Δ，再讨论根的大小，最后讨论根与区间端点的关系.

逐层确定参数讨论范围时，讨论的层次由大到小，如例1，最先讨论的是决定函数整体单调性不同的a的范围，再讨论各不同单调性情况下，定义域区间的单调性，最后讨论定义域区间上的最小值；例3也是一样，先讨论a，识别是不是“二次”的问题，再讨论Δ，是“二次”条件下有无实根的问题，最后讨论的是有二不等实根以后根的大小以及根与定义域区间端点的关系.

对参数讨论层次的把握既要事先构思，又要在讨论过程中灵活掌握，并不是每一种情况都需要分层到底. 讨论参数时，可以一层一层地展开分析，也可以按照一条线路走下去，一线多层，也可以层层分析以后，综合取值，统筹考虑.