函数f（x）=|ax—b|±|ax—c|的性质及其应用

武增明

在高中数学学习中，同学们对函数f（x）=|ax-b|±|ax-c|的最值及图象的对称轴、对称点有些生疏，因此，笔者介绍此函数的最值和图象的对称轴、对称点及其应用，旨在能对同学们有所启示和帮助，同时希望师生关注该函数.

1 函数f（x）=|x-a|+|x-b|（a≠b）的图象与性质

这类函数，只需讨论a

f（x）=-2x+a+b，x

b-a，a≤x≤b，

2x-a-b，x>b.

图1函数图象如图1所示.

f（x）min=b-a，f（x）max不存在， 函数图象关于直线x=a+b2轴对称.因此，函数f（x）=|x-a|+|x-b|（a≠b）有如下性质：

性质1函数f（x）=|x-a|+|x-b|（a≠b）的最小值为|b-a|，没有最大值，图象关于直线x=a+b2对称.

2 函数f（x）=|x-a|-|x-b|（a≠b）的图象与性质

当a

f（x）=a-b，x≤a，

2x-a-b，a

b-a，x≥b.

函数图象如图2所示.

当a>b时，可用分段函数表示为

f（x）=a-b，x≤b，

-2x+a+b，a

b-a，x≥a.

函数图象如图3所示.

f（x）min=-|a-b|，f（x）max=|a-b|，

函数图象关于点（a+b2，0）中心对称.

因此，函数f（x）=|x-a|-|x-b|（a≠b）

图2图3有如下性质：

性质2函数f（x）=|x-a|-|x-b|（a≠b）的最小值为-|a-b|，最大值为|a-b|，图象关于点（a+b2，0）对称.

3函数f（x）=|ax-b|+|ax-c|（a≠0，b≠c）的性质

令ax=t，则f（x）=g（t）=|t-b|+|t-c|（b≠c）.

由性质1，知函数g（t），即f（x）的最小值为|b-c|，没有最大值.

函数g（t）的图象关于直线t=b+c2对称，所以ax=b+c2x=b+c2a，故函数f（x）的图象关于直线x=b+c2a对称.

因此，函数f（x）=|ax-b|+|ax-c|（a≠0，b≠c）有如下性质.

性质3函数f（x）=|ax-b|+|ax-c|（a≠0，b≠c）的最小值为|b-c|，没有最大值，图象关于直线x=b+c2a对称.

4函数f（x）=|ax-b|-|ax-c|（a≠0，b≠c）的性质

令ax=t，则f（x）=g（t）=|t-b|-|t-c|（b≠c）.

由性质2，知函数g（t），即f（x）的最小值为-|b-c|，最大值为|b-c|.因为函数g（t）的图象的对称中心的横坐标为t=b+c2，所以ax=b+c2x=b+c2a，故函数f（x）的图象关于点（b+c2a，0）对称.

因此，函数f（x）=|ax-b|-|ax-c|（a≠0，b≠c）有如下性质.

性质4函数f（x）=|ax-b|-|ax-c|（a≠0，b≠c）的最小值为-|b-c|，最大值为|b-c|，图象关于点（b+c2a，0）对称.

5函数f（x）=|ax-b|±|ax-c|的性质的应用

例1（2009年高考山东卷·理4）设函数f（x）=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为（）

A. 3B. 2C. 1D. 0

解由性质1，知函数f（x）的图象关于直线x=-1+a2对称，又已知函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以-1+a2=1a=3，故选A.

例2 （2015年高考重庆卷·理16）若函数f（x）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=.

解f（x）=|x+1|+|x-a|+|x-a|，令g（x）=|x+1|+|x-a|，则由性质1，知g（x）的最小值为|-1-a|，又|x-a|的最小值为0，所以f（x）的最小值为|-1-a|.已知f（x）的最小值为5，故|-1-a|=5 a=4或a=-6.

例3设函数f（x）=13|x+a|+|13x-14|的图象关于直线x=12对称，则实数a=.

解f（x）=|13x+13a|+|13x-14|，由性质3，知f（x）的图象关于直线x=-13a+142×13对称，又已知f（x）的图象关于直线x=12对称，故-13a+142×13=12a=-14 .

例4已知函数f（x）=|2x-a|-|2x-b|（a，b∈R+）的图象关于点（1，0）成中心对称.

（Ⅰ）求（1a+1b）（a+b）的最小值；

（Ⅱ）若函数g（x）=-1+|x|x与y=f（x）的图象没有公共点，求实数a的取值范围.

解（Ⅰ）由性质4，知f（x）的图象关于点（a+b4，0）对称，又已知f（x）的图象关于点（1，0）对称，所以a+b4=1a+b=4.

记u=（1a+1b）（a+b）=1a+1b+ba+ab≥21ab+21ab=41ab（当且仅当a=b=2时等号成立）.

又4=a+b≥2ab1ab≥12（当且仅当a=b=2时等号成立）.

故u≥41ab≥412=22.

从而当且仅当a=b=2时，

（1a+1b）（a+b）取得最小值22.

（Ⅱ）g（x）=-1-1x，x>0，

1-1x，x<0.

g（x）的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）.

y=f（x）的值域为[-|a-b|，|a-b|].

图4结合图象（如图4）可知，两函数图象没有公共点|a-b|≤1，

-|a-b|≥-1|a-b|≤1.

又b=4-a，所以|a-4+a|≤132≤a≤52 .故实数a的取值范围是[32，52].