正方体中的三个圆柱两两垂直

笔者探究了“斜切圆柱侧面所得椭圆在圆柱侧面展开后所得曲线的类型”，进而探究了“‘直角型、‘T型、‘十字型圆柱、牟合方盖的展开图、面积、体积问题” [1] .本文欲在此基础上做更深入的研究.

中国数学家刘徽注《九章算术》时，发现其“开立圆术”中所给的球体积是错误的. 他创造了一个称之为“牟合方盖”的立体图形，即在一个立方体内作两个互相垂直的内切圆柱所得相交的部分.祖冲之和他的儿子祖暅继承了刘徽的思路，即从计算“牟合方盖”体积入手得到球的体积[2].本文在前人研究两个圆柱垂直的相交部分是“牟合方盖”的基础上，进一步研究立方体的三个内切圆柱两两垂直且相交时公共部分的形状. 在CNKI的中国期刊全文数据库及其学位论文数据库中检索，还没有发现关于这方面的研究.

已知E，F，G，H，I，J分别是棱长为2r的正方体ABCD-A′B′C′D′的上、下、左、右、前、后面的中心，O是正方体的中心，M，K，N，L分别是棱AA′，BB′，CC′，DD′的中点.

1两个圆柱互相垂直与牟合方盖

如图1，在正方体ABCD—A′B′C′D′中，作底面半径为r的圆柱IJ和圆柱GH，则这两个圆柱互相垂直且分别与正方体内切. 这个两个圆柱的相交部分是一个“牟合方盖”（如图2所示的立方体内的空间图形）.

其曲面EMFK和曲面ELFN都是圆柱GH侧面上的部分，曲面EKFN和曲面ELFM都是圆柱IJ侧面上的部分.

现将图2中的“牟合方盖”的表面展开在平面ABCD上，所得图形如图3所示，恰好是四条各自在一个周期上的正弦曲线所围成的“四瓣花”.

2三个圆柱两两垂直的公共部分

如图4所示，圆柱GH，IJ，EF两两垂直，且都与立方体相切，研究这三个圆柱体的公共部分形状.

先研究圆柱IJ的侧面被正方体对角面ACC′A′斜切后所得椭圆与正方体的体对角线A′C的交点P，Q所在的位置.

如图5所示，在矩形ACC′A′所在的平面中，以O为原点，MN所在直线为x轴建立平面直角坐标系.

易知椭圆的长半轴长a=OM=2r，短半轴长b=OE=r，则椭圆的方程为x22r2+y2r2=1.①

设直线A′C的方程为y=kx，将点A′（-2r，r）的坐标代入该直线方程，可得k=-22，

则直线A′C的方程为y=-22x.②

将①②联立可得P（-r，22r），Q（r，-22r），

这也说明点P，Q到圆柱EF的轴的距离都是r，则点P，Q恰在圆柱EF的侧面上.

可求得A′P=CQ=3（1-22）r.

从而进一步可知，立方体内的三个圆柱被立方体内的各对角面斜切后得到的椭圆与正方体的体对角线的交点到相应顶点的距离都是3（1-22）r.为此在AC′上取点R，S，在BD′上取点T，U，在DB′上取点V，W，使它们到相应正方体顶点的距离都等于A′P=3（1-22）r，

易证这些点连接后可得到棱长为2的正方体PUSW-RVQT（如图6所示）.

正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线对应的平面将正方体分割成以O点为顶点，各面为底面的6个相同的正四棱锥.

易知，图2中的“牟合方盖”在正四棱锥O-A′B′C′D′中的面PWSU以上部分如图7所示，设为空间几何体X，它是由曲面EPW、曲面EWS、曲面EUS、曲面EUP以及正方形面PWSU所围成的几何体.

其中点E到面PWSU的距离为r-22r=（1-22）r.

将正方体PUSW-RVQT的其余5个面也盖上相同的5个几何体X，便得到三个圆柱两两垂直相交的公共部分（如图8所示），在将图8所示的几何体放入到图4所示的几何体中可得到图9.

我们来进一步认识图8所示的几何体（如图10所示）：

1.它是棱长为2r的正方体扣上6个几何体“小盖”X，这些“小盖的高”都是（1-22）r；

.“小盖的顶点”E，I，F，J在同一个圆上，G，I，H，J在同一个圆上，E，G，F，H在同一个圆上，这些圆的半径都是r. 点E，I，F，J，G，H都在半径为r的同一个球面上.

3.曲面EPW和曲面IPW实际上是图9的圆柱GH侧面上的相邻两部分，可以合并成一个曲面EPIW.

其他各面情况同理.

4.该几何体由12个曲面所围成：

第一类：图9的圆柱GH侧面上的部分有曲面EPIW、曲面IRTF、曲面FVJQ、曲面EUSJ.

第二类：图9的圆柱IJ侧面上的部分有曲面EWHS、曲面HTFQ、曲面FRGV、曲面EPGU.

第三类：图9的圆柱EF侧面上的部分有曲面ITHW、曲面HSQJ、曲面JUVG、曲面GPRI.

.将图9的圆柱GH侧面上的部分、圆柱IJ侧面上的部分以F为中心展开到ABCD所在的平面上（如图11实线所围成的部分），该图由8个形如EUJS的曲边四边形构成，其中曲线段EU，ES，JU，JS相同，都是正弦曲线水平点后18个周期的部分. 可将该图与图3对比可知，少了8个形如SJQNS的曲边的面.

将图9的圆柱EF侧面上的部分以I为中心展开到ABB′A′所在的平面上（如图12实线所围成的部分），该图由4个与图11中的EUJS相同曲边四边形构成.

可见，三个圆柱两两垂直的公共部分的几何体的表面积是平面曲边四边形EUJS面积的12倍，可用积分法求出平面曲边四边形EUJS的面积，此处从略. 后续还可以研究此几何体的体积.

参考文献

[1]李春雷.从斜切圆柱到牟合方盖的探究[J].数学通报，2016（4）：20-25.

[2]李文林.学一点数学史（续）——谈谈中学数学教师的数学史素养[J].数学通报，2011（5）：2-3.