非合作博弈中扩张Nash均衡点的存在性

赵春香，洪世煌，刘花花

(杭州电子科技大学应用数学研究所，浙江 杭州 310018)



非合作博弈中扩张Nash均衡点的存在性

赵春香，洪世煌，刘花花

(杭州电子科技大学应用数学研究所，浙江 杭州 310018)

以不动点定理为主要研究工具，考虑非货币化非合作博弈中扩张Nash均衡点的存在性问题.首先引入一个不连续集值算子的不动点定理，然后将该不动点定理运用于非货币化非合作博弈，获得了一个扩张Nash均衡点的存在性定理.由于该博弈模型中局中人的支付函数是不连续的，且支付函数值是向量值，因此所得的扩张Nash均衡点的存在性定理更具有普遍性和广泛的应用性.

偏序集；不动点；非货币化非合作博弈；扩张Nash均衡点

0　引　言

大多数博弈问题都假设支付函数定义在实数域上，即它的值域为实数集的子集[1-2].然而随着博弈论的迅速发展和应用，人们发现，来自于现实生活中的许多博弈模型中，其局中人的支付函数并非是实值的.例如社会选择博弈，投票博弈和军事学中的某些博弈，其局中人的支付函数均为向量值.近些年，局中人的策略集是向量空间的子集且其支付函数定义在偏序集上的博弈，被称为非货币化非合作博弈[3-5].对于Nash均衡的研究，不动点定理一直是相当重要的数学工具.本文利用文献[6]中关于不连续集值算子的不动点定理，考虑非货币化非合作博弈中的扩张Nash均衡问题.与文献[5]相比，虽然本文的博弈模型需要具备一些拓扑或代数结构，但证明过程简化，并且支付函数也不要求连续.

1　预备知识

在偏序集(X,≥)中，子集A被称作X中一条链，如果A中任意两个元素可比较，也就是对任意的x,y∈A，有x≤y或y≤x.A被称作一条可数链，如果A是一条链并且是可数的(简记为c.c.).

对于给定的偏序集(X,≥X)和(U,≥U)，称映射F:X→2U{φ}是序上增的，如果对于x≤Xy∈X及z∈F(x)，存在ω∈F(y)使得z≤Uω.映射F被称作序下增的，如果对于x≤Xy∈X及ω∈F(y)，存在z∈F(x)使得z≤Uω.如果F既是序上增的又是序下增的，那么称F是序增的.偏序集(X,≥)被称为归纳(逆归纳)的，如果X中任意链都有上界(下界).如果X既是归纳的又是逆归纳的，称X为双向归纳的.

定义1一个n人非货币化非合作博弈，简记为Γ={N,S,P,U}，包括以下元素：

1)n个局中人的集合N={1,2,…,n}；

3)产出空间(U,d,≥U)是一个偏序度量空间；

4)n个支付函数的集合P={P1,P2,…,Pn}，其中Pi是局中人i的支付函数，它是从S1×S2×…×Sn到(U,d,≥U)的映射.

下面介绍两个定理，它们将在下一章节的证明中起关键性作用.

定理1(Eberlein-Shmulian定理)[7]巴拿赫空间B是自反的，则B中有界集是弱紧的.

在文献[6]中，由注释3.3和推论3.4，可以直接得到推论3.10的一个推广的不动点定理.

1){u0}≤Au0，{v0}≥Av0；

2)A是序增的且有非空弱闭值；

3)如果C={xn}⊆K是可数全序的，并且C⊆wcl({x1}∪A(C))，则C是弱相对紧的.

那么集值映射A在K上有极大和极小不动点.

2　主要结论

对任意的A,B∈，A≥B当且仅当A⊇B，A>B当且仅当A≥B且A≠B，则(,≥)为一偏序集.文献[8]证明了任意链完备(即任意链都有上确界)偏序集都有一个极大元，为此有下述引理.

定理3Γ为一非货币化非合作博弈.假设Γ满足如下条件：

(Ⅱ)存在函数φ:U→R使得对任意的u1,u2∈U，若有u1≤Uu2，则d(u1,u2)≤φ(u1)-φ(u2)；

(Ⅲ)每一个局中人的支付函数Pi:S→U(i∈N)满足以下条件：

(i)对任意的i∈N及x,y∈S，Pi(x)≤UPi(y)当且仅当x≤By；

(ii)Pi将无界集映成无界集；

(iii)对任意的x,y∈S且x≤By，如果Pi(ωi,y-i)是Pi(Si,y-i)的一个极大元，那么存在zi∈Si且zi≤iωi使得Pi(zi,x-i)是Pi(Si,x-i)的一个极大元.

则该博弈Γ有极大和极小扩张Nash均衡点.

定义集值映射T1,T2,…,Tn的积映射T:K→2S{φ}如下：T(x)=T1(x)×T2(x)×…×Tn(x),∀x∈K.

显然，对任意x∈K,T(x)⊆[μ0,μ0].则有T(K)⊆[μ0,μ0]，这就意味着μ0≤BTμ0及μ0≥BTμ0成立.因此，T满足定理2中假设1.

Pi(μ0)≤UPi(xk)≤UPi(μ0),∀i∈N,∀k∈N+.

(1)

(2)

3　结束语

均衡点的存在性问题是博弈论中重要内容.对于支付函数值是实值的非合作博弈的Nash均衡点的存在性理论研究已经比较成熟了，支付函数值是向量值的非合作博弈更值得深入研究.本文主要利用不动点定理为研究工具得出非货币化非合作博弈的扩张Nash均衡点的存在性.如何将定理条件进一步简化，以及均衡点的稳定性问题有待进一步深入研究.

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The Existence of Extended Nash Equilibriums of Nonmonetized Noncooperative Discontinuous Games

ZHAO Chunxiang, HONG Shihuang, LIU Huahua

(InstituteofAppliedMathematicsandEngineeringComputing,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

In this paper we consider extended Nash equilibriums of the nonmonetized noncooperative game. We first introduce a fixed point theorem of discontinuous multivalued operators and then use it to establish an existence result of the extended Nash equilibriums. As each player’s payoff function is discontinuous and the outcome space is poset, the existence theorem of the extended Nash equilibriums is more universal and practical.

partially ordered set; fixed point; nonmonetized noncooperative game; extended Nash equilibrium

10.13954/j.cnki.hdu.2016.01.017

2015-05-22

国家自然科学基金资助项目(71471051)

赵春香(1990-)，女，江苏常州人，硕士研究生，博弈论与非线性分析.通信作者：洪世煌教授，E-mail：hongshh@hdu.edu.cn.

O225

A

1001-9146(2016)01-0086-04