数学思考：不可或缺的学习能力

蒋波成

【摘 要】 数学思考是一种重要的数学素养。让学生主动构建数学思考的过程与方法，是提高学生学习能力的根本保证，是学生不可或缺的学习能力。教师通过引领学生在新旧知识的衔接处主动思考，启发学生在新知学习的关键处独立思考，鼓励学生在数学知识的疑问处深层思考，促进学生在知识系统的交汇处全面思考，进而真正形成分析问题和解决问题的能力。

【关键词】 主动 独立 深层 全面

数学思考是一种重要的数学素养。让学生主动构建数学思考的过程与方法，是提高学生学习能力的根本保证，是培养学生发现和提出问题、分析和解决问题能力的有效措施，是学生不可或缺的学习能力。那么如何引领学生进行有效的数学思考，是值得教师深思的问题。

一、 理清新旧知识的衔接处，引领学生主动思考

主动思考是学生在发现问题时能积极探求的心理取向。让学生主动投入到数学思考，这要求教师精心设计，营造宽松的思考氛围，引领学生放松地进行数学思考。

（一） 准确理清新旧知识的衔接处

找准新旧知识的衔接处，有助于回顾旧知，实现知识的正迁移。从旧知出发，也就是从学生的已有知识经验出发，理清新知与旧知的联系，引导学生去主动思考、探索新知。准确理清新旧知识的衔接处，要求教师课前要充分研读教材，围绕新旧知识的衔接处设计问题。例如，教学“小数乘整数”一课时，课伊始我从整数乘法入手，设计整数乘整数的情境，让学生独立解决并说一说整数乘整数的方法，说完思路后我立即提问：如果将第一个乘数加上小数点改成一位小数怎么计算呢？这时学生纷纷举手都要尝试，有的学生说将刚才的积缩小10倍，有的学生说先把小数点放在一边，最后再在积中点上小数点。虽然有的学生说的不够准确、不够清晰，但每位学生都在积极主动的思考，结合整数乘法和小数乘法的衔接处，大胆、主动思考，提高了思考的效率。

（二） 从衔接处到主动思考的兴趣引领

德国著名诗人布莱希特说过：思考是人类最大的乐趣。孩子的天性是玩，只有符合儿童兴趣的活动，孩子才从心理更愿意参加，数学学习更是如此。兴趣可以推动儿童去探索新的知识，发展新的能力，它带有感性色彩，是启迪儿童心霏的钥匙。设计学生感兴趣的数学活动，特别对于新旧知识衔接处的情境创设，是引领学生主动思考的重要动力。从新旧知识的衔接处设计儿童喜闻乐见的情境，激发学生强烈的好奇心，当这种好奇心一旦发展为思考兴趣，将会表现出强烈的求知欲望，进而主动参与到学习中来。例如教学“认识分数”时，我创设分水果的故事：小猴兄弟俩在田野上玩耍，猴妈妈回来了，买了10只桃子、4个苹果和一个西瓜，现在猴妈妈要将所有水果平均分给兄弟俩该怎么分呢？对于桃子和苹果的分法，孩子们都会分，这属于旧知的范畴。而对西瓜的分法，学生们众说纷纭，有效地激发起学生自主思考的兴趣，为新知的学习打下良好的思考基础。

二、 质疑新知学习的关键处，启发学生独立思考

独立思考是拥有自己的数学思维方式，在面对某个问题时，根据自己的思考成果应对之，而不被别人的言论所左右。独立思考是提高数学学习能力的重要因素之一。小学生由于年龄的特点，各种人生观都还不成熟，自控能力还不成熟，独立思考能力有所欠缺，需要教师在教学中加以培养。众所周知影响课堂教学效果的重要原因是学生不会学数学、不会独立思考。因此，在教学中教师应努力创设独立思考的空间，给学生留有独立思考的时间，去充分把握新知学习的关键地方，在新知学习的关键处启发学生独立思考，大胆质疑，勇于发现和提出问题，敢于分析和解决问题。有助于学生理解和掌握新知，充分发挥学生的主体作用。

例如，在教学“用替换的策略解决问题”一课时，这部分内容的安排主要分为两个部分，一是在替换过程中总量不变，叫等量替换；二是在替换过程中总量发生变化，叫不等量替换。对学生来说，第一部分等量替换结合图形分析容易理解，而第二部分学生学习上有困难，有时发现不了总量的变化，有时与第一部分等量替换混淆，分不清怎么样灵活运用替换的策略解决问题，这正是新知学习的关键处。我在第一部分教学之后，将重点放在第二部分，鼓励学生大胆质疑，提问：将一个大盒替换成一个小盒，什么变了，什么不变？启发学生独立思考，教师加以巡视，对正确的想法予以肯定。经过一番独立思考，有的学生说大、小盒的总盒数不变还是6个；有的学生说因为每个大盒比每个小盒多装8个，所以将大盒替换成小盒时球的总个数发生了变化；有的学生说这个题目与例1不一样。这些回答正是学生经过独立思考后的思维碰撞，学生们抓住了本节课的关键处，理解了本节课的难点，发现替换之后总量的变化，这是难能可贵的。于是接着提问：那么例1和例2为什么会不一样，你发现了什么，把你的想法和同桌说一说。一片寂静之后，学生们开始交流，纷纷表达自己的想法，有的同学从条件入手找出不同的地方，有的同学从问题入手找出相同的地方，学生们说的头头是到，学生通过自己独立思考获得的知识才是真正的知识，记忆犹新，并且体验到独立思考带来的成功喜悦，增强了学生学习的自信心。

三、 猜想数学知识的疑问处，鼓励学生深层思考

深层思考是对一个数学问题从现象到本质地思考，搞清知识的来龙去脉，要知其然还知其所以然。在数学知识的疑问处引导学生进行深层思考，对中高年级学生来说是一个挑战。合理猜想是深层思考的重要方法，只有在学习的疑问处运用所学知识进行大胆猜想，做出合理的判断，才能获得更大的收获。

《数学论》指出：猜想是推动数学理论发展的强大动力。数学猜想是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素之一，是人类理性中最富有创造性的部分。数学发展史表明，数学家在尝试解决数学猜想过程中创造出大量有效的数学思想方法。这些数学方法已渗透到数学的各个分支并在数学研究中发挥着重要作用。由此可见猜想是重要的学习方法，是深层次思考的重要途径。例如，在教学“圆柱的表面积”一课时，我是这样设计猜想环节，鼓励学生深层思考的。首先从已学过的长方体和正方体的表面积计算入手，引导学生回忆长方体和正方体的表面积计算方法，说一说什么是长、正方体的表面积，由此引出圆柱的表面积怎么计算的。学生根据已有的经验进行思考，多数学生早早举起小手，抢着要回答，就是用圆柱的侧面积加两个底面积，只要先求出侧面积，再求出底面积，最后用侧面积加两个底面积。学生似乎都理解了这种方法，接着我提问：有没有更简便的方法？学生开始在本子上画图、小组交流，在绞尽脑汁的思考，时间一分一秒地过去，好像没什么进展。此时我鼓励能否这样猜想：能不能将圆柱的展开图（3个分别是长方形和两个圆）合并成一个图形。学生继续思考，心想这怎么可能，这里面有两个圆怎么能和一个长方形合并成一个规则图形。怎么办呢，这正是数学知识的疑问处。正在大多数学生一筹莫展之时，一个男生突然站起来说可以将它们拼成一个长方形，可以将两个圆通过剪切拼成两个长方形，这两个长方形的长加起来等于原来侧面展开所得到的长方形的长，将这3个长方形可以拼成一个大长方形，大长方形的长等于圆周长，宽等于高加半径，所以可以用底面周长乘高与半径的和来求出表面积。听完这个同学的回答，所有同学表现得很惊讶、很佩服。这就是大胆猜想的力量，是进行深层思考的结果，学生在深层思考、交流中获得了求圆柱表面积的第二种方法，这是刻骨铭心的学习思考过程，对孩子的终身学习有着重要里程碑意义。

四、 反思知识系统的交汇处，促进学生全面思考

学习数学的实质就是一个自主思考的过程，数学教学的基本目标就是培养学生的思考能力。《2011版新课标》指出：通过数学学习，学生应该在抽象思维、空间观念、统计观念、合情推理以及初步的演绎推理等方面获得发展。全面思考实际上就是对已有知识、掌握方法进行反思、总结，反思能力的强弱直接影响着学生学习的成效，引导学生抓住反思的切入点，特别是在知识系统的交汇处全面思考，反思知识系统的联系与构建，来对知识系统形成一个全面、系统的认识网络。

例如在教学“平面图形的面积复习”一课时，为了让学生能够全面思考平面图形的面积存在的联系，我是这样设计的。我首先提问学生学过哪些平面图形？学生一一回答后，我追问学生能简单说出各种图形特征与相关计算吗？学生思考后小组互相交流，有的学生会说这些图形的特征；有的学生会说这些图形的周长和面积计算。这些问题只是一个铺垫，关键在后面的环节。我接着提问学生这6个平面图形的面积计算公式分别是怎样推导出来的呢？它们之间有联系吗？我要求学生分小组交流，说一说推导过程。此时知识系统的交汇处已经出现，我继续提问：它们的联系在哪里？在小学阶段，我们为什么首先学习的是长方形的面积计算公式？这个问题有点让学生摸不着头脑，小组同学在交流，我也参与其中，很多同学从它们的推导方法入手来分析为什么先学的是长方形的面积计算公式。有的学生通过画图说正方形的面积与长方形的面积计算公式推导方法是一样的；有的学生说将平行四边形通过剪、移，可以拼成长方形；有的学生说三角形、梯形的面积公式是通过平行四边形面积公式推导出来的。听了这些学生回答，所有学生都能理解为什么先学习了长方形的面积计算。此时我肯定地说：“同学们真是分析高手！通过自己的全面思考得出这六种平面图形之间是有着紧密联系的。你能画一张图，表示出各种图形之间的推理关系吗？”学生通过画推理图进一步反思、理解平面图形面积之间的联系，了解了知识系统的编排原因，形成了平面图形面积计算的知识网络，从而获取了有价值的思考体验，实现了真正意义上的学习。

实践证明，数学思考是学生不可或缺的学习能力。让学生进行有效的数学思考，有助于理解知识系统之间的因果联系。教学中教师引领学生在探究数学问题的过程中，结合数学思考的思想，运用数学思考的方法，对数学知识进行系统地理解运用，这样能更好地促进学生数学思维的跳跃，激发学生敢想、敢说、敢问的热情和敢于发表自己独特见解的勇气，进而真正形成分析问题和解决问题的能力。