全等之后见精彩

2016-10-25 07:15左效平
初中生天地 2016年26期
关键词:延长线平分线度数

□左效平

全等之后见精彩

□左效平

全等三角形既是独立的数学知识,也是重要的学习工具,如能灵活应用这一强有力的数学工具,将会充分享受三角形全等后带来的精彩,真正领悟数学的魅力,感悟数学的奇妙.

一、全等后辨析结论正误

例1如图1,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.给出下列四个结论:

①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AC=3BF.

其中正确的结论共有().

图1

A.4个B.3个

C.2个D.1个

分析:由BF∥AC,得∠C=∠CBF,因为BC平分∠ABF,所以∠ABC=∠CBF,所以∠C=∠ABC,所以AB= AC,因为AD是△ABC的角平分线,所以BD=CD,AD⊥BC,②③正确.

在△CDE与△DBF中,

所以△CDE≌△BDF,

所以DE=DF,CE=BF,

结论①正确.

因为AE=2BF,所以AC=3BF,

④正确.

解:选A.

二、全等后证明线段相等

例2如图2,已知点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,EF=FD.求证:AD=CE.

图2

分析:作DG∥BC交AC于G,先证明△DFG≌△EFC,得出GD= CE,再证明△ADG是等边三角形,得出AD=GD,即可得出结论.

证明:如图2所示,作DG∥BC交AC于G,则∠ADG=∠B,∠AGD=∠ACB.因为△ABC是等边三角形,所以△ADG是等边三角形,所以DG=AD.

因为DG∥BC,所以∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF.

在△DGF和△ECF中,

所以△DGF≌△ECF,

所以CE=GD.

因为GD=AD,所以AD=CE.

三、全等后判定三角形的形状,探求生成新角的度数

例3已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC.

(1)如图3,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF的形状并证明;

图3

(2)如图4,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,∠APD的度数是一个固定的值吗?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.

图4

分析:(1)利用SAS证明△AFD和△BDC全等,再利用全等三角形的性质得出FD=DC及∠FDA=∠DCB,即可判断三角形的形状.

(2)作AF⊥AB于A,使AF=BD,连结DF、CF,利用SAS证明△AFD和△BDC全等,再利用全等三角形的性质得出FD=DC,∠FDC=90°,即可得出∠FCD=∠APD=45°.

解:(1)△CDF是等腰直角三角形,理由如下:

因为AF⊥AD,∠ABC=90°,

所以∠FAD=∠DBC=90°.

在△FAD与△DBC中,

所以△FAD≌△DBC(SAS),

所以FD=DC,∠FDA=∠DCB.

因为∠BDC+∠DCB=90°,

所以∠BDC+∠FDA=90°,

所以△CDF是等腰直角三角形.

(2)作AF⊥AB于A,使AF=BD,连结DF、CF,如图4.

因为AF⊥AD,∠ABC=90°,

所以∠FAD=∠DBC=90°.

在△FAD与△DBC中,

所以△FAD≌△DBC(SAS),

所以FD=DC,∠FDA=∠DCB.

因为∠BDC+∠DCB=90°,

所以∠BDC+∠FDA=90°,

所以△CDF是等腰直角三角形,

∠FCD=45°.

因为AF∥CE,

所以∠FAC=∠ECA.

因为CE=BD,BD=AF,

所以AF=CE.

在△FAC与△EAC中,

所以△FAC≌△ECA,

所以∠FCA=∠EAC,

所以AE∥CF,

所以∠ADP=∠FCD=45°.

四、全等后判定两线的位置、数量关系

例4如图5,已知:在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.

(1)求证:△ABD≌△CAE;

(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.

图5

分析:(1)运用AAS证明△ABD≌△CAE.

(2)证明△ADE≌△ECA,AC= DE,结合AB=AC,得证AB=DE;证明∠ABC=∠ACB=∠EDC,可证明AB∥DE.

证明:(1)因为AB=AC,所以∠B=∠ACD,因为AE∥BC,所以∠EAC=∠ACD,所以∠B=∠EAC.

因为AD是BC边上的中线,所以AD⊥BC,因为CE⊥AE,所以∠ADC=∠CEA=90°.

在△ABD和△CAE中,

所以△ABD≌△CAE(AAS).

(2)AB=DE且AB∥DE.

理由如下:连接DE,因为AD⊥BC,AE∥BC,所以AD⊥AE,因为CE⊥AE,所以∠DAE=∠CEA=90°.

由(1)知△ABD≌△CAE,

所以AD=CE,

在△ADE和△ECA中,

所以△ADE≌△ECA,

所以DE=AC,

因为AB=AC,所以DE=AB.

因为△ADE≌△ECA,

所以∠ADE=∠ACE,

所以∠EDC=∠ACB,

所以∠EDC=∠B,

所以AB∥DE.

所以二者的关系是AB=DE且AB∥DE.

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