具有输出耦合的Lur'e复杂网络的自适应输出反馈牵制控制

李绍林，何应辉，刘　伟

（红河学院数学学院，云南蒙自 661199）

具有输出耦合的Lur'e复杂网络的自适应输出反馈牵制控制

李绍林，何应辉，刘伟

（红河学院数学学院，云南蒙自 661199）

文章应用自适应控制技术并结合牵制控制的思想，在节点部分输出状态的情况下讨论具有输出耦合的无向Lur'e复杂网络的同步问题。通过对网络中部分节点引入控制器，设计输出反馈增益的在线自适应更新协议，无向Lur'e复杂网络中所有节点能实现全局渐近输出同步。最后，利用无标度BA网络作为数值实例验证了所提出理论结果的有效性。

同步；自适应更新协议；牵制控制；Lur'e复杂网络；输出耦合

0　引言

Lur'e系统是一类非常典型的非线性系统，通常它由一个线性系统和一个满足扇区条件的非线性反馈系统所构成，一些常见的非线性系统如Chua系统、Goodwin模型及超混沌系统等都可以归结为Lur'e的类型. 在理论上，Lur'e系统的稳定性问题一直是研究的热点之一并产生了一些比较有影响力的结果［1-3］. Lur'e系统的同步问题也广泛应用于诸如保密通信等工程技术领域［4-5］.

复杂网络是一个由大量节点和节点之间的连接关系所构成的系统，它在自然和人类日常生活中常用来作为如生物网络、社交网络和物流网等的数学模型. 同步现象是动态复杂网络的动力学行为之一，已经得到国内外不同学科领域学者的广泛关注和研究［6-8］. 由于复杂网络的特性之一就是节点数目比较多，为网络中每一个节点施加控制行为既不合理而且也难以实现. 牵制控制［9-12］被广泛应用于复杂网络的同步研究中，其特点在仅控制网络中的一小部分节点就能实现网络所有节点的同步，因此是一种较为有效而且低成本控制方法.

在大多数已有的文献中，复杂网络的同步判据往往是基于节点的所有状态（full states）所给出的.但由于测量手段和观测设备等人为因素的限制，获取节点的全部状态是不容易实现的. 在此情况下，仅利用节点的部分输出状态来实现整个网络的输出同步［13-15］的控制方法已经得到了广泛的关注和研究.在文献［16］中，Liu等人基于输出反馈控制策略研究了一个Lur'e动力学网络的牵制同步问题，利用LMIs的形式给出了有向和无向Lur'e网络的同步判据. 我们在此基础上，考虑了无向Lur'e网络的自适应输出牵制同步问题并设计了牵制控制器增益的自适应更新协议，该协议只依赖于牵制节点的状态误差从而便于实际应用. 数值仿真的结果表明所设计自适应牵制控制器的有效性，特别指出在网络强连通和Lur'e系统可检测的条件下，即使只采用一个控制器也能实现整个网络的状态同步.

1　预备知识与模型描述

1.1符号说明

在本文中，我们使用如下的标准数学符号.R 代表实数集，Rn表示n 维的实欧式空间.记Rm×n为所有m 行n 列的实矩阵的全体，In表示n阶的单位矩阵.对于n 阶方阵A∈Rn×n记号AT表示矩阵A的转置，A-1表示矩阵A 的逆矩阵.对于一个实对称矩阵B ，分别记λmax（B）与λmin（B）为矩阵B的最大与最小特征值，记号B＞0（B＜0）表示对称矩阵B 是正定（负定）矩阵.记号diag（d1，d2，…，dn）表示主对角元素为d1，d2，…，dn的对角矩阵.记号⊗表示矩阵运算的Kronecker积.

1.2图论知识

无向网络中的信息交换可以用一个加权图g=｛V，E，W｝来表示，这里V=｛1，2，…，N｝是网络中节点的集合；边集E⊆V×V ，无序自然数对（i，j）∈E 表示网络节点i 与节点j能够进行信息交换，否则（i，j）∉E 表示节点与节点j无法进行信息交换；加权联接矩阵W 中的元素ij用于衡量节点i 与节点j 之间的通信质量，定义为

这里，不允许节点到它自身的通信（即不存在自环的情形），因此，对应于加权联接矩阵的Laplacian矩阵定义为

1.3基本引理

下面的引理是本文进行理论证明所需要的，在此先作一个简要的陈述.

引理1［17］设是实对称矩阵，那么任取则有

引理2［18］设矩阵，则下列线性矩阵不等式（LMI）

成立，当且仅当下列条件其中一个成立：

引理3［19］如果是不可约矩阵，满足如下条件：

引理4［20］对于具有适当维数的矩阵及数，有如下关于Kronecker积的等式成立：

1.4模型描述

对于Lur'e复杂网络（1），考虑其孤立节点的动力学方程为

定义 Lur'e复杂网络（1）与孤立节点（2）全局渐近同步，是指在任意初始条件下都成立

当系统（1）本身无法实现与孤立节点（2）全局渐近同步时，对系统施加控制是一种最为常用的手段. 为此，对系统（1）引入控制输入，即考虑如下的受控系统：

在实际网络中，节点的数目往往是非常多，受控制成本的限制，对每一个节点都施加控制是不现实和无法实施的，为此我们引入牵制控制（Pinning Control）的策略，也就是说在网络中一小部分节点上施加控制. 记

分别为全部和牵制的节点集合. 在本文中，我们设计如下的牵制时变输出反馈控制器

这里，特别指出正定矩阵P将用于受控系统（3）中输出反馈增益矩阵Γ的设计.

此外，由（2），（3）和（4）式可得如下的同步误差系统

根据以上讨论，受控系统（3）与孤立节点（2）全局渐近同步问题可转化为误差系统（8）在平凡零解的全局渐近稳定问题.

2　牵制策略下无向Lur'e网络的自适应同步协议

利用上述正定矩阵P ，构造如下的Lyapunov函数

则有

综上所述，误差系统（10）能实现全局渐近稳定，从而受控系统（3）在所设计的自适应更新协议（9）下与孤立节点（2）达到全局渐近同步，控制器的时变反馈增益将渐近稳定于某一确定数值，定理得证.

3　数值仿真

在本节中，通过设计一个数值仿真实例来说明所提出理论结果的有效性。考虑如下由100个节点所构成，形如（3）式的一个Lur'e复杂网络模型：

图1　单个节点的状态的混沌状态

图2　由100个节点构成的无标度网络

图3　网络节点状态误差ei1（t ）

图4　网络节点状态误差ei1（t ）

图5　网络节点状态误差ei1（t ）

图6　随机选取两个节点的控制器增益ei1（t ）

4　结论

在本文中，我们考虑了无向Lur'e复杂网络自适应输出同步问题. 根据牵制控制的思想，仅将控制器配置在网络节点中的一小部分上以实现整个网络的输出同步. 在实现网络节点同步的过程中，我们利用牵制时变输出反馈控制器代替传统的反馈控制器并设计了相应反馈增益的在线自适应更新协议，由系统同步误差所决定的反馈控制增益可以有效地避免人为选取，从而能达到有效地降低控制成本. 通过Lyapunov函数方法和LaSalle不变集原理，我们从理论上严格证明了所设计的自适应方案的合理性，在无标度BA网络上数值仿真则说明了理论结果有效性.在自然环境下，时滞以及噪声的干扰对于一个网络来说是不可避免的，在Lur'e复杂网络中考虑上述因素所带来的影响则会是一个非常有意义的研究主题，这也是我们将来致力于考虑的研究内容.

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［责任编辑 张灿邦］

Pinning Control for Lur'e Complex Network with Output Coupling via Adaptive Output Feedback Technique

LI Shao-lin，HE Ying-hui，LIU Wei
（Department of Mathematics and Applied Mathematics，Honghe University，Mengzi 661199，Yunnan，China）

Using adaptive technique and pinning control，the synchronization of undirected Lur'e network with output coupling is investigated，in which only part of nodes' states are known. For the purpose of synchronize all nodes to homogeneous state，an adaptive online update protocol that is dependent on output feedback is designed and applied to a fraction of nodes in Lur'e complex network. Finally，based on scale-free BA network，a numerical simulation is provided to demonstrate the effectiveness of the theoretical result.

Synchronization； Adaptive update protocol； Pinning control； Lur'e complex network； Output coupling

O29

A

1008-9128（2016）05-0060-06

10.13963/j.cnki.hhuxb.2016.05.017

2015-09-10

红河学院校级科研基金项目（XJ15SX03）

李绍林（1977-），男，云南石屏人，副教授，硕士，研究方向：复杂网络。