“四法”搞定因式分解

曹德文

摘 要：因式分解是初中数学教学中的重要内容，是一种恒等变形，方法灵活，基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法，因式分解的技巧性也比较强，对于培养学生的思维能力、发展学生智力等都具有十分重要的意义。

关键词：因式分解；四种方法；技巧

一、提公因式法

多项式中每一项都有的因式叫做这个多项式的公因式。通过观察我们可以发现：一个多项式的公因式实质上是取各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积的形式。

【典型例题】把下列多项式分解因式：

（1）8a3b2-12ab3c； （2）-2m3+4m2+2m；

（3）6（x-2）+x（2-x）； （4）18b（a-b）2-12（a-b）3。

【解析】（1）8a3b2-12ab3c =4ab2（2a2-3bc）；

（2）-2m3+4m2+2m=-2m（m2-2m-1）；

（3）6（x-2）+x（2-x）=6（x-2）-x（x-2）= （x-2）（6-x）；

（4）18b（a-b）2-12（a-b）3=6（a-b）2[3b-2（a-b）]=6（a-b）2（5b-2a）。

二、运用公式法

初中阶段主要涉及两类三个公式，平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2；

1.平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。

【典型例题】把下列各式分解因式：

（1）1-25b2； （2）（x+p）2-（x+q）2；

（3）16（a-b）2-9（a+b）2 ； （4）x4-y4。

【解析】（1）1-25b2=12-（5b）2=（1+5b）（1-5b）；

（2）（x+p）2-（x+q）2=[（x+p）+（x+q）][（x+p）-（x+q）]

=（2x+p+q）（p-q）；

（3）16（a-b）2-9（a+b）2=[4（a-b）]2-[3（a+b）]2

=[4（a-b）+3（a+b）][4（a-b）-3（a+b）]

=（7a-b）（a-7b）；

（4）x4-y4=（x2）2-（y2）2=（x2+y2）（x2-y2）=（x2+y2）（x+y）（x-y）。

2.完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2。

【典型例题】把下列各式分解因式：

（1）1+4x2y2-4xy；

（2）-x2-4y2+4xy；

（3）-16m4n6+24m3n5-9m2n4；

（4）9（x+a）2+30（x+a）（x+b）+25（x+b）2。

【解析】（1）1+4x2y2-4xy=12+（2xy）2-4xy=（1-2xy）2；

（2）-x2-4y2+4xy=-[x2+（2y）2-4xy]=-（x-2y）2；

（3）-16m4n6+24m3n5-9m2n4=-m2n4（16m2n2-24mn+9）

=-m2n4[（4mn）2-24mn+32]

=-m2n4（4mn-3）2；

（4）9（x+a）2+30（x+a）（x+b）+25（x+b）2

=[3（x+a）]2+30（x+a）（x+b）+[5（x+b）]2

=[3（x+a）+5（x+b）]2

=（8x+3a+5b）2。

用完全平方公式分解因式关键先是“凑”公式的结构，再套用完全平方公式。

三、分组分解法

1.分组—提公因式法分解因式

【典型例题】把下列各式分解因式：

（1）a2-ab+ac-bc （2）2ax+5by-10ay-bx

【解析】（1）a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a（a-b）+c（a-b）=（a-b）（a+c）；

（2）2ax+5by-10ay-bx=（2ax-bx）+（5by-10ay）=x（2a-b）-5y（2a-b）=（2a-b）（x-5y）。

2.分组—运用公式分解因式

【典型例题】把下列各式分解因式：

（1）x2-y2+ax+ay； （2）a2-2ab+b2-c2； （3）x3+x2y-xy2-y3。

【解析】（1）x2-y2+ax+ay=（x2-y2）+（ax+ay）=（x+y）（x-y）+a（x+y）=（x+y）（x-y+a）；

（2）a2-2ab+b2-c2=（a2-2ab+b2）-c2=（a-b）2-c2=（a-b+c）（a-b-c）；

（3）x3+x2y-xy2-y3=（x3+x2y）-（xy2+y3）=x2（x+y）-y2（x+y）=（x+y）（x2-y2）=（x+y）2（x-y）。

3.加項减项—分组分解法

【典型例题】把下列各式分解因式：

（1）a3+b3； （2）a3-b3； （3）x5-1。

【解析】（1）a3+b3=a3+a2b-a2b+b3=（a3+a2b）-（a2b-b3）=a2（a+b）-b（a2-b2）=a2（a+b）-b（a+b）（a-b）=（a+b）（a2-ab+b2）；

（2）a3-b3=a3+a2b-a2b-b3=（a3-a2b）+（a2b-b3）=a2（a-b）+b（a2-b2）=a2（a-b）+b（a+b）（a-b）=（a-b）（a2+ab+b2）；

（3）x5-1=x5+x3-x3-1=（x5-x3）+（x3-1）=x3（x2-1）+（x3-1）

=x3（x-1）（x+1）+（x-1）（x2+x+1）

=（x-1）[x3（x+1）+x2+x+1]

=（x-1）（x4+x3+x2+x+1）

四、十字相乘法

【类型一】 x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）型

【典型例题】把下列各式分解因式：

（1）x2+5x+6； （2）x2-5x+6； （3）x2+x-6； （4）x2-x-6。

【解析】（1）x2+5x+6=（x+2）（x+3）；（2）x2-5x+6=（x-2）（x-3）；

（3）x2+x-6=（x-2）（x+3）；（4）x2-x-6=（x+2）（x-3）。

【类型二】一般地二次三项式ax2+bx+c（a≠0）因式分解

【典型例题】把下列各式分解因式：（1）2x2-x-1；（2）x2+x+1/4；（3）3x2-6x-7.

【解析】（1）2x2-x-1=（2x+1）（x-1）；

（2）x2+x+1/4=（x+1/2）2；

（3）3x2-6x-7=3（x-x1）（x-x2），（x1，x2分别是方程x2-2x-7/3=0的两根）。

总之，在平时教学中，我们必须给学生教会上述四种方法，为了便于记忆，我整理成以下口诀：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项全提莫漏1，括号里面分到“底”。也可遵从一“提”、二“套”、三“分”、四“查”的步骤，即先提公因式，再套用公式，其次分组解决，最后用多项式的乘法检查验证。

编辑 谢尾合