中点配中点 灵巧又简便

胥诚

【摘要】所谓“中点配中点”，即是在已知中点的情况下，再造中点，以连成中位线或平行四边形，使问题获解的辅助方法. 它在已知三角形、四边形的边上或对角线上的中点等一类问题中有着广泛的应用.

【关键词】 中点；中位线；平行四边形

例如：△ABC中，AB = AC，E为AB的中点，在AB延长线上有点D，使BD = BA，求证：CD = 2CE，就是已知中点的问题. 怎样配好中点？结合结论有下列五种常用解法.

法一：∵ B为AD的中点，若取△ACD中CD边上的中点F，则B、F恰好配对. （如图1）

由BF = AC = AB = BE，且有∠2 = ∠ACB = ∠1，并有BC = BC，∴ △BEC ≌ △BFC，∴ △CF = CE，即CD = CE，∴ CD = 2CE.

法二：同法一取AC的中点F′，B、F′也正好配对. 同理有BF′ = CD.

通过△BEC ≌ △F′CB又可证得CE = BF′，使问题得证. （如图2）

法三：∵ E为AB的中点，若将AC延长到P，使CP = AC，则C为AP的中点，此时E、C正好配对，（如图3）连接BP，则CE = BP，可通过证△BCD ≌ △CBP（ ），而得到BP = CD，则CE = BP = CD，即CD = 2CE.

法四：同法三延长BC到F，使BC = CF，则C为BF的中点，此时E、C配对，（如图4）连接AF，则CE = AF，再证△BCD ≌ △ACF（ ），从而CD = AF = 2CE.

法五：∵ E为AB的中点，若将CE延长到F，且使CE = EF，则E又为CF的中点，此时E与E自身配对，（如图5）连接AF，BF，由对角线互相平分得？荀ACBF，∴FB = AC = AB = BD，又∠CBD + ∠ABC=∠CBD + ∠ACB = 180，而∠CBF + ∠ACB = 180°，∴∠CBF = ∠CBD，

又BC = BC，∴ △BCF ≌ △BCD，∴ CD = CF = 2CE.

由此可见，配中点可以是取某一线段的中点，（如法一、法二），也可以是加倍延长，使某点成为中点，（如法三、法四、法五）. 以构造三角形的中位线，造成全等三角形（如法一、法二、法三、法四）或平行四边形（如法五）. 既可以是两个不同点配对（如法一、法二、法三、法四），也可以是同一点自身配对（如法五）.

对下列练习，同学们不妨一试.

1. 在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，射线BE交AC于F，则AF = AC.

提示：取FC的中点G，连DG（如图6）

2. 四边形任一组对边中点连线小于另一组对边之和的一半.

提示：连BD、取BD的中点P，连PN，PM（如图7）.

3. 已知：在四边形ABCD中，M，N，P分别为AB，CD，BC的中点，AP交CM于G，MN交DG于O，求证：

① OM = ON，② DO = 3GO.

提示：（如圖8）连AC，取CG的中点Q，连NQ.

4. 如图9，在 △ABC中，D为AC上一点，且CD = AB，M、N分别为BC、AD的中点，MN交BA的延长线于E，

求证：AN = AE.

提示：连BD，取BD的中点P，

连PM，PN.