浅谈函数思想在数列中的应用

刘峤　邱奉美

【摘要】 数列是一种特殊的函数，在解决数列问题时，要善于利用函数的知识，函数的观点，函数的思想，以它的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列的桥梁，揭示它们的内在联系，从而为学生解答数列问题提供新的途径.

【关键词】 函数；数列

一、运用函数思想理解数列的特点

数列是一种特殊的函数这种函数的定义域是正整数集N+或是正整数集的有限子集，因而其函数图像是一系列孤立的点（不连续），而不像前面研究过的初等函数一般都是连续的曲线. 因此理解数列问题时，可以类比函数来理解，往往会有意想不到的效果.

例1 设{an}为等差数例，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7 = 21，S15 = -75，Tn为数列的前n项和，求Tn的最大值.

分析 列方程组可求得Sn，继而求得Tn，把Tn看成关于自变量n的函数来求最大值即可.

解 设等差数列{an}的公差为d，则Sn = na1 + n（n - 1）d，

∵ S7 = 21，S15 = -75，∴7a1 + 21d = 21，15a1 + 105d = -75，解得a1 = 9，d = -2.

∴ Sn = na1 + d = 9n - （n2 - n） = 10n - n2，

∴ = 10 - n.

∵ - = -1，

∴数列是首项为9，公差为-1的等差数列，

∴ Tn = = -n2 + n =

-n - 2 + .

∵ n∈N+，∴ 当n = 9或n=10时，Tn有最大值45.

二、函数性质在数列问题中的应用

数列具有單调性、周期性，因此研究数列问题时，可以类比函数的一些性质来研究. 例如，数列中求某项的取值范围问题、最值问题等就可以利用函数思想，转化成求函数值域的问题或解不等式的问题.

1. 函数的周期性在数列中的应用（满足an + T = an）

例2 数列{an}满足a1 = a2 = 1，a3 = 2，且对任意自然数n均有an·an+1·an+2 ≠ 1，又an·an+1·an+2·an+3 = an + an+1 + an+2 + an+3，则a1 + a2 + a3 + … + a100的值是多少？

解 由a1 = a2 = 1，a3 = 2可得a4 = 4.

又an·an+1·an+2·an+3 = an + an+1 + an+2 + an+3.

∴ an+1·an+2·an+3·an+4 = an+1 + an+2 + an+3 + an+4.

两式相减，得（an - an+4）（an+1·an+2·an+3 - 1） = 0.

又an+1·an+2·an+3 = 1，∴ an = an+4，∴T = 4.

∴ a1 + a2 + a3 +…+a100 = 25（a1 + a2 + a3 + a4） = 25 × 8 = 200.

2. 函数单调性在数列中的应用

由函数的图像可知，只要数列每个点比它前面一个点高（an > an-1），则数列递增. 反之，则数列递减. 等差数列的通向公式为an = a1 + （n - 1）d = nd + a1 - d，可以看作an关于n的一次函数上的离散点，等比数列的通向公式为an = a1qn-1，可以看作an关于n的指数函数上的离散点，我们常用数列单调性求最值. 解决数列单调性常用的方法有：作差法、作商法、构造函数法.

例3 数列{an}中，an = （n∈N+），则该数列的最大项是第几项？

解 令g（x） = = （x ≥ 1）.

而令g（x） = x + （x ≥ 1），

则g′（x） = 1 - = .

令g′（x） ≥ 0，得x ≥ ；

令g′（x） < 0，得1 < x < .

∴ g（x）在（1，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增.

故f（x）在（1，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，而12 < <13.

故an的最大项是a12或a13.其中a12 = ，a13 = .

∴ an的最大项是a12或a13.

三、运用函数的数形结合思想解决数列问题

数形结合思想在数列中主要表现在将数列中的“数”的问题转化为函数中的“形”的问题来解决.

例4 已知数列{an}通项an = （n∈N+），前30项中最大项和最小项分别是 （ ）.

A. a1，a3 B. a1，a8 C. a10，a9 D. a10，a30

解析 an = = 1 + .

考察函数f（x） = 的图像.

反思：本题看似是数列问题，其实是利用了数列与反比例函数的关系，利用函数的单调性以及反比例函数图像来对数列中各项的大小进行比较.