事件独立性的教学研究

周江霖+黄文蝶

摘 要 正确引导学生如何正确理解和掌握独立性的概念是概率论教学中的一个重点，教学最终目的是使学生理解并且能正确使用独立性进行概率计算。

关键词 两事件的独立性 互斥

中图分类号：G633.951 文献标识码：A

事件的独立性是概率论中非常重要的概念之一，概率论中很多问题的前提都涉及到事件的独立性，因此要求学生正确理解事件独立性的定义，会区分独立和互斥这两个概念，掌握并运用事件的独立性进行概率的计算方法。在讲解独立性尽量让学生经历概念的形成及公式的探究、应用过程，培养学生观察、分析、类比、归纳的能力，并渗透逆向思维的数学思想方法。提高学生自主学习的能力与探究问题的能力。下面介绍一下本堂课的教学步骤。

步骤一： 学生的学习是建立在已有认知结构上的，所以从学生已学知识出发，既可以加深对学过知识的理解，又可以为学习新知识埋下伏笔。所以通过回顾上节课的学习的条件概率，引入本节课独立性的定义。在条件概率中，我们讲到，一般情况下，条件概率P（B|A）≠P（B），即A发生与否对B发生的概率是有影响的；但我们可否设想一下，在什么情况下，这二者相等呢，首先来看一个例子：例1：3张奖券中只有一张能中奖，现分别由3名同学有放回的抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”。则问事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？显然，由于是有放回抽取，事件A的发生不会影响事件B发生的概率，于是有P（B|A）≠P（B）。

步骤二：从学习数学的过程可知，弄清数学概念是学生学好数学的基础和前提，从而培养学生对数学问题的认知研究能力。通过步骤一中的例子，可以让学生感受到如果事件A，B有P（B|A）≠P（B），则认为A与B相互独立的；也就是B的发生的可能性大小不会受到A事件的影响。由于A作为条件，所以在条件概率中要求P（A）>0。

下面我们给出独立性的定义

定义1：如果两事件A，B中任一事件发生的可能性（或概率）都不受到另外一事件发生与否的影响，即P（B|A）=P（B），P（A|B）=P（A），则称事件A与B是相互独立的。

定义2：如果事件A与B满足P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与B相互独立。

注示：定义1是事件独立性的一个直观定义，对于定义1要注意使用时候一定有P（A）>0这个条件，不能遗漏，还要注意在定义1中，是一个事件发生的概率（而不是发生与否）不会受到另外一个事件发生与否的影响，注意前面“概率”二字。所以相比较，定义2使用更方便，定义2不需要考虑这一点。

有了独立的概念之后，许多学生容易混淆独立和互斥，认为两事件独立，则两事件就互斥。其实这完全是两个概念，他们之间没有直接的联系。两个事件互斥是从事件运算的角度来解释P（A∩B）=0，即A与B没有相同的样本点。而独立性是从概率的角度来刻画的，是P（AB）=P（A）P（B），这二者不能混淆，教学中抽取例子说明独立不一定互斥，互斥不一定独立。

步骤三： 三个事件的独立

设A，B，C是三个事件，如果同时满足下面四个等式

P（AB）=P（A）P（B）

P（AC）=P（A）P（C）

P（BC）=P（B）P（C）

P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

则称事件A，B，C相互独立。

注示：三个事件相互独立的直观解释：其中一个事件发生的概率不会受到另外一个事件或者其他两个事件发生与否的影响。三个事件相互独立中一定要满足四个等式，缺一不可（特别很多学生认为前三个等式就足够说明三事件相互独立，这是错误的思想，课堂上可以举例说明）。有了三事件的相互独立，就很容易推广到多个事件的相互独立，这里就不再解释。认识到三个事件的独立后，很容易从三个事件的独立推广到多个事件的独立，从而学生也能学会举一反三。有了这个概念之后，我们可以给出一个具体的例子。古人云：“三个臭皮匠顶一个诸葛亮”。今天我们就从概率的角度来分析一下，是否有道理。已知诸葛亮解决问题的概率为0.8，臭皮匠甲解决问题的概率为0.5，臭皮匠乙解决问题的概率为0.45，臭皮匠丙解决问题的概率为0.4，且每个人必须独立解题，现在请问三个臭皮匠真的能顶上一个诸葛亮吗？分析此题，其实考察的就是三个事件的独立性。利用三个事件的独立性，我们很容易求出三个臭皮匠中至少有一个人解答出此题的概率为0.835，显然应了古人的那句话，三个臭皮匠能赛过一个诸葛亮。讲完此例题后，我们还可以假设如果在三个臭皮匠中制定一个规则，什么规则呢，就是少数服从多数，这意味着只有至少两个臭皮匠解答出问题，臭皮匠这个团队才会胜利。那么按照这个规则，不防让学生试着计算臭皮匠团队获胜的概率是多少。提高了知识的趣味性，也吸引了学生的兴趣。

步骤四：独立性的性质

在A，B；A，B；A，B；A，B这四对事件中，只要有一对独立，剩余的其余三对也独立。这个可以用两事件独立性定义2证明。这个性质也可以通过事件独立的定义，从直观上去理解。 这个性质在很多计算中得到应用，需要学生完全掌握，熟练应用。

结束语

独立性是概率中一个非常重要的概念，但在实际生活中，常常不是要我们去证明事件是否独立，而是根据实际生活经验去判定独立，然后利用独立的性质进行概率计算。希望每位老师能抓住重点，分析难点，让每位学生能准确理解和运用独立性。

参考文献

[1] 张福利.随机事件独立性的探讨[J].产业与科技论坛，2010，9（8）.

[2] 韩天红.事件独立性之分析[J].科技创新导报，2008（NO18）.

[3] 同济大学应用数学系.工程数学概率统计简明教程[M].高等教育出版社，2003.