使用期内保修产品的最优更换策略*

耿强 吕文元

（上海理工大学　　管理学院，上海，200093）

使用期内保修产品的最优更换策略*

耿强 吕文元

（上海理工大学管理学院，上海，200093）

本文从消费者的角度出发，提出了在产品的有限使用期内，可免费维修保修的产品的更换策略.假设产品在使用期内可以更换一次，更换前后产品的故障率不发生变化.在保修期内，发生故障的产品的维修费用由生产商承担，消费者不用为此支付任何费用.在保修期外产品发生故障，消费者需要为此支付一笔固定的维修费用.然而，只要产品在使用，每发生一次故障都会对消费者产生一笔固定的停机费用.在这种维修计划下，产品的更换将分两种情况讨论：免费保修前和免费保修后.本文将建立两类最优更换模型，给出消费者期望支付费用的数学模型，继而求得最优的更换时间以及此时最小的支付费用.最后会给出模型的算例分析，给出在不同的保修期和有限使用期下，最优更换策略的相关特征.

有限使用期 免费维修保修 小修 一次更换

1　引言

由于产品的更新换代很快，消费者会有这样一种意愿，就是在对产品的有限使用期内，可以有一次更换产品的机会.因为产品持续稳定的运行对消费者来说至关重要.本文研究的内容就是在产品有限的使用期内，在免费维修保修的的策略下，可维修产品的最优更换策略.对于可维修的产品，Barlow和Proschan详细阐述了产品更换和维护策略的相关理论.Boland和Proschan研究了周期性更换策略，旨在一个固定的时间范围内，使维修与更换产生的期望费用降至最低.

一般地，产品在售出后都会有一个保修期.保修策略是联系厂商和顾客的一种合同责任，它往往用于促进产品的销售，厂商必须承担对产品的故障或缺陷进行维修的责任.政府为了保障消费者的利益，生产商为了提高自身的产品在市场中的竞争力，对于不同类别的产品，提供了多种类型的保修策略.在保修模型的发展过程中，免费维修保修是可维修的产品中最常用的一种保修策略.保修成本分析的概念最早是由Blischke和 Murthy提出的.在免费维修保修的策略下，故障产品经过小修所产生的费用不需要消费者来承担.小修过后，产品的故障率不发生变化.Jack和Vander Duyn Schouten从生产商的角度出发，研究了可维修产品在免费更换保修下的最优维修更换策略.除此之外，还有很多文献研究了故障产品被新产品替换的相关维修模型，但大多都是从生产商的角度出发，很少有从消费者的角度出发去研究问题的.在本文中，我们将从消费者的角度出发，研究在有限使用期内，可以更换一次的可维修产品的最优更换策略.

在第二部分中，我们将建立消费者期望支付费用的数学模型.第三部分我们将对模型进行求解，求出最优更换时间以及最低的支付费用.第四部分则是根据建立的模型，进行算例分析.文章最后一部分则是经过分析得出的结论.

2　数学模型

这一部分，在产品使用期内，我们将从消费者的角度出发，构造出一个数学模型.本文将使用以下数学符号：

2.10≤S≤w的情形

第一个产品的期望支付费用（购买价格和停机费用）是：

第二个产品的期望支付费用（购买价格，停机费用和小修费用）是：

因此，在使用期T内，消费者的期望支付费用是：

2.2w≤S≤T的情形

第一个产品的期望支付费用是：

第二个产品的期望支付费用是：

因此，在使用期T内，消费者的期望支付费用是：

3　最优更换时间

消费者期望支付费用是我们接下来所考虑的目标函数.根据等式（1），（2），我们可以推理得到上述两种情况的最优更换时间.

3.10≤S≤w的情形

分别求出等式（1）的一阶导数和二阶导数，得：

根据限定条件0≤S≤w，将S=0和S=w分别代入等式（3）中，得：

观察等式（5）和（6），可以得出以下结论.

结论1 当h（t）＞0，∀t≥0，产品的最优更换时间是S*=w，此时E1（S*）取到最小值.

证明 当h（t）＞0，∀t≥0，E1''（S）＞0.这说明E1'（S）是单调递增的，又由于T≥2w，所以等式（5）和（6）的值均小于0.到这里，我们就能得出E1（S）在S∈0，w［］是单调递减函数.因此最优更换时间是S*=w，此时E1（S*）取到最小值.

3.2w≤S≤T的情形

分别求出等式（2）的一阶导数和二阶导数，得：

根据限定条件w≤S≤T，S=w和S=T分别代入等式（7）中，得：

观察等式（9）和（10），可以得出以下结论.

结论2 当h（t）＞0，∀t≥0，存在唯一的最优更换时间S*∈w，T［］，使得E2'（S*）= 0且E1（S*）取到最小值.

证明 当h（t）＞0，∀t≥0，E2''（S）＞0.这说明E2'（S）是单调递增的，又由于T ≥2w，我们可以得出等式（9）的值小于0，而等式（10）的值是大于0的.所以E2'（S）在S∈w，T［］上是一条过零点的单调递增函数，E2（S）先递减后递增.因此，存在唯一的最优更换时间S*∈w，T［］，使得E2'（S*）=0并且E1（S*）取到最小值.

4　算例

考虑到产品的保修期为wi，消费者对于产品的使用期限是T，在使用期内，产品的更换时间为S.假设产品的寿命分布服从两参数的威布尔分布f（t）=αβ（αt）β-1e-（αt）β，t≥0，α 表示尺度参数，β为形状参数.根据故障率函数的定义，服从威布尔分布的产品的故障率函数为

令α=0.1，β=1.2，Cd=40，Cm=120，V1=2000，V2=1000，表一和表二归纳了在不同的w和T下，符合条件一和条件二的产品的最优更换时间和最小支付费用.例如，当（V1，V2，α，β，Cd，Cm，T）=（2000，1000，0.1，1.2，40，120，20），（a，w）=（0.5，4），最优的更换时间和最小支付费用是S*=10，E2（S）=3263.更多的数据可以从下列表中查到.表一中的数据是在不同的w 下，产品的最优更换时间和最小支付费用.表二中的数据是在不同的T下，产品的最优更换时间和最小支付费用.

（1）观察表一中数据能够发现，随着w增加，期望支付费用是逐渐减小的，且E2（S）小于E1（S）.

（2）观察表二中数据能够发现，随着T增加，期望支付费用是逐渐增大的，且E2（S）依然小于E1（S）.

（3）当控制其他参数不变，只改变系数a的值时，随着a增加，E1（S）和E2（S）的值均逐渐减小.

表一

表二

5　结论

本文中，使用期内产品的更换时间分了两种情况来进行讨论：0≤S≤w和w≤S≤T.从算例中，我们可以得出以下一些结论：（1）对于第一种情况，第一个产品应该使用到保修期截止时再进行更换.（2）对于第二种情况，产品的最优更换时间是T/2.（3）当w增加时，消费者需要支付的费用逐渐减少.（4）当T增加时，消费者需支付的费用也逐渐增加.此外，本文研究的问题是基于可更新免费保修策略的基础之上的，未来还有其它可扩展的方向需要去研究，例如考虑非更新免费更换保修、按比例保修等情况下，产品该采取何种更换策略.

［1］Boland，P.J.，and Proschan，F.Periodic replacement with increasing minimal repair costs at failure［J］. Operations Research，1982，30，1183-1189.

［2］Blischke，W.R.，and Murthy，D.N.P.，Warranty Cost Analysis［M］，1994，New York：Dekker.

［3］Jack，N.and Van der Duyn Schouten，F.Optimal repair-replace strategies for a warranted product［J］. International Journal of Production Economics，2000，67，95-100.

［4］Wang，C.H.，and Sheu，S.H.Optimal lot sizing products sold under a free-repair warranty［J］.European Journal of Operational Research，2003，149，131-141.

［5］Chien，Y.H.and Chen J.A.Optimal age-replacement policy for repairable products under renewing freereplacement warranty［J］.International Journal of Systems Science，2007，38，759-769.

［6］Yeh，R.H.，Chen，M.Y.and Lin，C.Y.Optimal periodic replacement policy for repairable products under free-repair warranty［J］.European Journal of Operational Research，2007，176，1678-1686.

［7］Nakagawa，T.and Mizutani，S.A summary of maintenance policies for a finite interval［J］.Reliability Engineering and System Safety，2009，94，89-96.

［8］Chie and Y.H.Optimal age for preventive replacement under a combined fully renewable free replacement with a pro-rata warranty［J］.International Journal of Production Economics，2010，124，198-205.

［9］Das，A.N.and Sarmah，S.P.Preventive replacement models：an overview and their application in process industries［J］.European Journal of Industrial Engineering，2010，4，280-307.

［10］Park，M.and Pham，H..A new warranty policy with failure times and warranty servicing times.IEEE Transactions on Reliability，2012，61，822-831.

［11］Huang，Y.S.，Chen，E.，Ho，J.W.Two-dimensional warranty with reliability-based preventive maintenance［J］，IEEE Transactions on Reliability，2013，62，898-907.

Optimal Replacement Policy for Warranty Products Under a Finite Planning Horizon

Geng Qiang Lv Wengyuan
（Business School，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

This paper investigates the optimal single replacement policy for products with free-repair warranty under a finite planning horizon from the consumer’s perspective.Within the planning horizon，the product is replaced once by a new product.But failure rate remains unchanged.During free-repair warranty，when the product fails，the failed product is rectified using minimal repair without any cost to the consumer. After free-repair warranty，any failure of the product incurs a fixed repair cost to the consumer.However，each failure incurs a fixed downtime cost to the consumer over the planning horizon.Under this maintenance scheme，the replacement of the product is investigated for two separate cases：before free-repair warranty and after free-repair warranty.Then，two cost models from the consumer’s perspective are derived and the optimal replacement policy is obtained such that the expected total disbursement cost is minimized.Finally，numerical examples are given to illustrate the features of the optimal replacement policy under various warranties and planning horizons.

Finite planning horizon Free-repair warranty Minimal repair Single replacement

2016年04月23日