两轮自平衡小车的建模与控制

李杨，战艺，周晓明，袁辉

（1.广西大学机械工程学院，广西南宁530004；2.广西大学电气工程学院，广西南宁530004；3.深圳爱啃萝卜机器人技术有限公司，广东深圳518000）

两轮自平衡小车的建模与控制

李杨1，战艺1，周晓明2，袁辉3

（1.广西大学机械工程学院，广西南宁530004；2.广西大学电气工程学院，广西南宁530004；3.深圳爱啃萝卜机器人技术有限公司，广东深圳518000）

两轮自平衡小车利用状态反馈法和串级PID控制实现其原地直立。对两轮自平衡车进行建模，通过测量两轮小车的实际物理参数，根据动力学、电气关系建立系统的数学模型，运用设计控制算法来对两轮小车实施控制并通过MATLAB来仿真控制效果。仿真和实验结果表明：基于状态空间表达式的控制器比基于传递函数的控制器有更好的控制效果和鲁棒性。

自平衡小车；控制；仿真

两轮自平衡车自身是个开环不稳定系统，具有状态变量多、系统模型非线性、变量间强耦合等特点［1］。其控制方法主要有常规PID控制、自适应控制、模糊控制等［2］。本文通过经典控制理论和现代控制理论的知识实现对两轮小车的控制，建立数学模型，确定其系统模型，采用串级PID控制，在MATLAB上仿真编写控制程序，并在实物模型上验证，通过验证，确定基于状态空间表达式的控制器比基于传递函数的控制器具有更好的控制效果和鲁棒性［3］。

1　两轮自平衡小车控制模型的建立

两轮自平衡小车的抽象模型如图1所示，小车整体由轮子和车体两部分构成，其中车体由轮轴和摆杆组成。建立空间坐标系，α为摆杆与z轴夹角，β为轮轴与y轴夹角，即轮轴的初始位置与y轴重合，左轮指向右轮的方向为y轴的正向。摆杆倾斜时在地平面上的垂直投影与x轴重合，x轴的正向与摆杆倾斜的方向相同。轮轴的中点即空间坐标系的原点O，竖直向上为z轴的正方向［4］。

图1　两轮小车整体的抽象模型

由图1建立自平衡小车的表达式：

如图2、3分别为轮子和摆杆的受力分析图。其中，θr分别为左右轮旋转角度，xo为转轴中点水平位移，zpxl为车身质心的竖直位移，L为摆杆质心到端点的长度，R为轮子半径，D轮轴长度，Hr分别为左、右轮水平作用力，Pr为左、右轮竖直作用力，fr为左、右轮摩擦力，Vr、Vl分别为左右轮电压。

图2　轮子的受力分析

图3　摆杆的受力分析

由此可得其具体数值的状态表达式：

2　仿真验证

2.1开环稳定性

根据李雅普诺夫第一法判定两轮小车开环系统是不稳定的［5］。为获得开环系统的自由响应，输出的空间表达式如公式为：

并使自平衡小车初始状态为有一个α=1°的倾角可得：

系统的自由响应如图4所示输出图像。

图4　开环系统的非零自由响应

由图像可知，在不到1 s的时间内，状态变量及其导数逐渐向负方向移动。而状态变量及其导数逐渐向正方向移动。且状态变量移动的速度随着时间推移越来越快。

仿真的结果与实物模型的动作是相符合的：小车在自由释放后很快地失去平衡，在极短的时间内倒地，双轮位置相比初始位置稍有后退，摆杆倾角在不到1 s内达90°.整个过程的各个状态变量的变化随着时间推进越来越快。具体数值由于已经超出了可线性化的区间意义不大。

2.2直立控制

由以上分析可知，两轮小车是一个开环不稳定系统。为了对两轮小车实现稳定控制，现根据两轮小车的开环状态表达式，通过状态反馈的方式建立两轮小车的闭环系统，从而改善系统的动态响应，使其受到任意的状态扰动时，系统的状态变量能很快地收敛到零。两轮小车成为两轮自平衡小车，并实现原地直立的控制目标。

令系统的初始状态为［1 0 0 0］，通过很短的时间的自由响应，各个状态变量收敛于零，系统的状态变量曲线如图5所示。

图5　初始状态［1 0 0 0］的自由响应

2.3速度控制

显然，此时系统各个环节的传递函数都阶数较高，这将导致系统的控制难度增大。然而根据实际经验，采用PID控制器的双闭环两轮小车系统是完全能实现速度控制的（如图6）。直接在实物模型上调试PID参数，并根据实际效果对系统结构优化，如图7所示。优化的目的都在于保持角度环的参考输入变化不剧烈并且不超出数学建模的线性化区间，从而确保两路小车的基本平衡不被破坏。

图6　倾角闭环控制

图7　优化后系统结构图

经过优化后的速度控制算法通过在实物模型上验证并微调参数，能达到很好的效果。速度控制的误差满足设计要求。

3　实物验证

实现小车速度控制的关键在于维持小车倾角稳定，小车的倾角稳定通过PID算法实现。通过PID控制器的典型传函对比可确认PID的三个参数，如图8所示。

图8　两轮自平衡小车实物图

使用状态反馈法设计的控制器能使两轮小车的原地直立具有较小的抖动，且无论受到何种干扰，小车都能较快地回复原平衡状态。程序中，反馈的增益的设置与理论推导完全一致。在增益允许的条件下，将系统极点配置的尽可能地远离虚轴能得到最好的控制效果。

而使用串级PID控制器控制两轮小车，由于该控制器的控制对象是速度，令参考速度为零，也能实现直立的效果。但直立时的抖动要比前一种控制方式明显，且当推动小车远离原平衡位置时，其不能自动回到原位置平衡。

4　结束语

本文实现两轮小车的控制，结果表明基于状态空间表达式的控制器比基于传递函数的控制器具有更好的控制效果和鲁棒性。

［1］刘莉宏.基于智能控制的PID控制方式的研究［J］.北京工业职业技术学院学报，2012，14（2）：33-38.

［2］屠运武，徐俊艳，张培仁，等.自平衡控制系统的建模与仿真［J］.系统仿真学报，2004，4（16）：83-84.

［3］Rich Chi Ooi.Balancing a Two-Wheeled Autonomous Robot［M］.Final Year Thesis of USQ，2003.

［4］刘李锋.有源网络结构能控性分析与设计［D］.武汉：武汉理工大学，2012.

［5］Vander Linden G W，Lambrcchts P F.H-∞control of an experimental inverted pendulum with dry friction［J］.IEEE control system magazine，1993，13（4）：44-5.

Modeling and Control of Two Wheeled Self-balancing Vehicle

LI Yang1，ZHAN Yi1，ZHOU Xiao-ming2，YUAN Hui3
（1.Guangxi University，School of Mechanical Engineering，Nanning Guangxi 530004，China；2.Guangxi University Electrical Engineering College，Nanning Guangxi 530004，China；3.Shenzhen Aicrobo Technology Co.，Ltd.，Shenzhen Guangdong 518000，China）

The standing upright of two wheel vehicle can be realized by state feedback method and cascade PID control.First，according to the physical model of the two wheel vehicle for abstract modeling，through the actual physical parameter of the measured two car，according to dynamics and electrical relationship established mathematical model of the system.In the mathematical model based on，according to the control design theory of control algorithm to control of two wheeled cart and by MATLAB to simulate control effect.The simulation results show that in the two kinds of vertical control method based on state space The expression controller has better control effect and robustness than that based on the transfer function of the controller.

self-balancing car；control；simulation

TP13

A

1672-545X（2016）08-0027-04

2016-05-11

李杨（1991-），男，山东莱芜人，研究生，研究方向：机电液一体化。