转动效应对恒星热力学结构与演化的影响研究

王江涛，宋汉峰，2，3，邰丽婷

（1.贵州大学理学院物理系，贵州贵阳 550025；2.中国科学院天体结构与演化重点实验室，云南昆明 650011；3.中科院国家天文台-贵州大学天文联合研究中心，贵州贵阳 550025）

G为引力常量，P为压强，t为时间.能量转移方程：

其中Xn是元素n的质量分数，右边第二项表示核反应对化学元素丰度的影响.相应的边界条件为

物理·自然·技术·社会

转动效应对恒星热力学结构与演化的影响研究

王江涛1，宋汉峰1，2，3，邰丽婷1

（1.贵州大学理学院物理系，贵州贵阳 550025；2.中国科学院天体结构与演化重点实验室，云南昆明 650011；3.中科院国家天文台-贵州大学天文联合研究中心，贵州贵阳 550025）

转动效应对恒星结构与演化的两大方面的影响体现在动力学效应和元素混合上.本文利用国际MESA程序，研究了转动效应对20 M⊙恒星在主序阶段热力学结构的影响.发现转动的动力学效应能使恒星中心温度变低，减少了恒星表面的不透明度，中心平均分子量和表面熵.由于动力学效应对恒星热结构的调整，降低了恒星的氢燃烧率，恒星向低温和低光度端演化.转动的元素混合效应减小了恒星的中心温度、密度、压强、紧密度、表面不透明度和平均分子量，使恒星表面氦元素、氮元素明显超丰，中心燃烧核区域变大，延长恒星在主序阶段的寿命.

恒星结构与演化；转动；元素混合

探索恒星的结构与演化是天体物理学的基础任务，它对人们了解星系和宇宙的演化都有重要意义.近年来人们认识到转动效应是影响恒星结构与演化非常重要的物理因素［1-13］.转动效应对恒星结构与演化的影响体现在两方面：动力学和元素混合效应.转动的动力学效应指的是恒星由于受到惯性离心力的作用，赤道半径变长，由原来的球对称变成旋转椭球体.这时等势面（保守转动时，等压面与等势面重合）的热力学参量，如温度、压强等变成二维，即它们是半径和余纬度的函数.恒星辐射沿转动轴的辐射梯度将大于赤道面辐射梯度，使恒星极区温度较高，赤道区温度较低，出现等势面上平均重力加速度变小，平均光度和温度变小的引力昏暗的现象.由于这些变化是转动离心力引起的，因此称为转动的动力学效应.

转动效应对恒星演化的另一个重要效应是元素混合和角动量转移.主要原因是转动效应产生了许多流体运动的不稳定性.如引力昏暗效应形成极点和赤道的温差，驱动流体热不稳定产生.它使极区流体沿等势面的子午线运动至赤道面上，并在赤道面上沿赤道半径向内运动至恒星中心，这种运动称为子午环流.转动恒星中的子午环流是一种非常重要的物质运动.它对恒星结构与演化有三方面的重要影响.第一，子午环流将极区的热流补充至赤道处，企图使恒星在等势面上达到热平衡.第二，子午环流产生恒星内部到外部的化学元素混合.将中心核反应区的氦、氮等元素搬运到恒星表面，产生这些元素的超丰现象.第三，恒星演化初期，子午环流以热时标由恒星外部向内部传输角动量，使恒星内部角动量变大，同一位置的角速度变大，相反外部的角速度变小，产生角速度梯度，形成有剪切的较差转动.

当流体剪切运动的Richardson数小于临界Richardson数（0.25）时，会产生剪切不稳定，称为动力学剪切不稳定性，相应的湍流为剪切湍流［14］.该不稳定性以动力学时标进行.在大质量恒星中，当热扩散时标远小于角动量扩散时标（黏性时标）时（小于Prandtl数时），这时的不稳定性以热时标进行，称为长期剪切不稳定.恒星内的Prandtl数一般约为10-6，满足产生长期剪切不稳定性的条件.转动效应同时激发了许多不稳定性，如：Solberg-Hoiland不稳定性和GSF不稳定性等.子午环流被认为是传输角动量的主要物理机制，而剪切湍流被认为是混合化学元素的主要方式［15］.

本文将分别研究这两种效应对恒星中心热结构的影响，而且研究转动产生的诸多不稳定性对大质量恒星的元素扩散和混合的影响.本文第一部分给出基本公式.介绍转动恒星结构与演化方程，元素扩散方程和角动量转移方程.给出各种不稳定性影响元素扩散过程的扩散系数.第二部分给出数值计算结果，第三部分给出相应结论.

1　理论模型及方程

1.1势函数及转动恒星理论模型

以恒星中心为坐标原点，恒星赤道平面上过坐标原点的任一线为x轴，恒星自转角速度为Ω，恒星的转动轴为z轴，并与赤道平面垂直.Kippenhahn& Thomas（1970）［16］最先给出了保守转动下（刚性转动和Ω（s）=const的转动，s为流体元到转轴的垂直距离）恒星的结构演化方程.按照洛希模型，等势面定义为

其中m和r分别为恒星总的质量和半径，rpol为恒星极半径，对应等压面的面积记为Sp，它所包含的体积为Vp.由于在等压面上的重力加速度的大小并不是常数，故重力加速度可以写为：

由于转动的动力学形变，数值计算和求解二维恒星结构和演化方程将非常复杂和困难，对讨论恒星演化是非常不便的.然而Kippenhahn& Thomas（1970）［16］提出将三维模型等价地用一维模型来计算的方法（即KT70方法［16］）.该方法把变形的恒星用一个等价球来代替，此球称为等价拓扑球.将非球对称变形恒星等势面上各个物理量的平均值作为等价拓扑球上对应各物理量的值.这样可将变形的二维恒星模型用一维恒星模型近似处理.这个方法被国际上绝大多数天文学家认同并采用［5-7，17-19］.

定义

式中dn是两个相邻等压面的压强p=const和 p+dp=const之间的距离.

转动恒星结构方程为：

式中ρ为恒星密度，rP为VP所对应的等效半径，mP为等压面SP所对应的质量.

G为引力常量，P为压强，t为时间.能量转移方程：

式中κ为不透明度，LP为通过等压面Sp的能流. a为辐射常量，T为温度，c真空中的光速.方程（5）和方程（6）中的fT、fp是为体现转动动力学效应带来的对恒星结构与演化影响的修正因子，它们是

1.2扩散系数，角动量传输方程和元素扩散方程

1.2.1元素扩散方程和各种不稳定性造成的元素扩散系数

转动引起的元素混合和角动量转移主要都是由流体的不稳定性发生时流体元运动混合造成的. Endal&Sofia（1978）［20］和Pinsonneaultetal（1989）［9］假定长期不稳定性的元素混合率与角动量再分布（转移）率成正比，可以得到由不稳定导致的元素混合的径向扩散方程为［21］

其中Xn是元素n的质量分数，右边第二项表示核反应对化学元素丰度的影响.相应的边界条件为

方程（8）中的D为元素扩散系数，包括对流和半对流及各种不稳定性对元素扩散的影响，可以表示为［21］

其中Dconv为对流影响系数，Dsem为半对流影响系数，DSSI为长期剪切不稳定影响系数，DDSI为动力学剪切不稳定影响系数，DSHI为Solberg-Hôiland不稳定影响系数，DES为子午环流影响系数，DGSF为Goldreich-Schubert-Fricke不稳定影响系数.

对流运动造成的元素混合系数Dconv，它可以表示为

半对流的扩散系数Dsem的计算按照［22］

当热扩散时标远远小于角动量时标（黏性时标）时，出现长期剪切不稳定.长期剪切不稳定造成的元素混合系数为

由于转动造成恒星产生热不稳定，从而形成恒星内部的大尺度子午环流，其扩散系数为

Goldreich&Schubert（1969）［26］和Fricke（1968）［27］提出在轴对称扰动下的转动流体产生的Goldreich-Schubert-Fricke不稳定的扩散系数为

1.2.2角动量转移方程

由于这些不稳定，产生恒星内部的角动量转移，其方程可以写为［20］

上式中的i为质量坐标为m的单位壳层的转动惯量，设其内半径为ri，外半径为ro，则.N为湍动黏度，可以写为

2　数值计算方法及结果

我们采用Paxton et al.（2011，2013）［28，29］编写的MESA（ModulesforExperimentsinStellar Astrophysics）程序，做数值计算.初始模型选取为：零龄主序的恒星质量为20 M⊙，采用标准初始金属丰度为XH=0.707，Z=0.01，混合长参数取为2.0.星风公式采用Vink，de Koter&Lamers（2001）［30］做计算.

2.1转动的动力学效应对演化的影响

选取4种情况，初始赤道转动速度分别选取vini，1=0 km/s（实线），vini，2=300 km/s（点线），vini，3= 450 km/s（点划线），vini，4=550 km/s（划线）.在所有计算情况中，仅考虑转动离心力造成的动力学效应对恒星结构和演化的影响.而不考虑转动不稳定性造成的元素扩散和角动量转移效应的影响.

图1（a）给出转动恒星中心密度在不同初始赤道速度情况下整个主序阶段的变化.为了仔细分辨各条曲线的差别，图1（b）给出转动恒星在0—6Ma（6百万年）演化的情况.发现在主序演化的大部分阶段（小于6 Ma），随着转动角速度的增加，恒星中心密度增加.物理上可以解释为：假设恒星赤道平面上一点P，在非转动下，压强梯度与重力相平衡.由于转动离心力削弱了重力，流体元趋于向内运动，以获得更大的重力与原来的压强梯度平衡.因此，转动的动力学效应使恒星趋于向中心集中，更适合洛希模型.另外Claret（1999）［31］等人观测发现，转动恒星的拱线运动常数明显比非转动恒星小.主要原因是转动增加了恒星的中心集中，趋向质点模型，减少拱线运动率.但在主序后期（大于6 Ma），初始赤道转动速度快的恒星的中心密度变小，这是由于快速转动恒星中心燃烧区收缩造成的.原因是主序后期恒星中心燃烧核收缩在其边界形成μ梯度，μ梯度抑制子午环流向外传输角动量，中心核转动速度加快，不利于更多的外壳物质向中心坍缩.

图1　恒星的中心密度随时间的变化.图中实线、点线、点划线、划线分别对应恒星初始赤道转动速度为0，300 km/s、450 km/s、550 km/s 4种情况的演化

图2　恒星中心温度的变化，图中4条曲线与图1有相同的含义

图3给出恒星中心压强的变化.发现中心压强的变化趋势与中心密度变化趋势相同.这说明恒星中心压强的变化更依赖于中心密度的变化.在主序前期，初始快速转动的恒星趋于增加中心压力，而在主序后期趋于减少中心压力.

图3　恒星中心压强的变化，图中4条曲线与图1有相同的含义

图4　恒星中心集中度的变化

图5

图6　恒星在赫罗图中的演化.图中4条曲线与图1有相同的含义

2.2元素混合对恒星结构与演化的影响

为了研究转动产生的不稳定性对恒星结构与演化的影响，我们仍选择恒星质量为20 M⊙，初始赤道转动速度取为250 km/s，仅分两种情况讨论.第一种情况不考虑转动激发的各种不稳定性对元素混合的作用（实线），第二种则考虑转动产生的各种不稳定性对元素混合的作用（点线）.

图7给出两种情况下恒星中心温度、密度、压强、中心集中度、中心平均分子量和表面不透明度的变化.发现在相同时刻，转动造成的元素混合效应使恒星演化至中后期具有较低的中心温度、密度、压强、集中度、平均分子量和表面不透明度，但在主序结束时中心集中度较高，达到3×104.这是转动造成的元素混合使中心氢丰度增加表面氢丰度减少，中心氦丰度减少和表面氦丰度增加造成的.

图7

图8给出两种情况下中心氢、表面氦，氮元素以及氢燃烧轮廓随时间的变化.图8（a）给出两种情况的中心氢丰度的变化，比较两种情况可以看出，转动混合效应使恒星中心具有较高的中心氢.原因是：1）转动产生的不稳定性将恒星外包层的氢带到恒星中心，使中心氢的丰度增加；2）转动的动力学效应使恒星中心温度变低，产能率变低，可以剩余较多的氢元素.图8（b）给出在t≈7.6 Ma时两种情况的氢丰度轮廓.发现不考虑转动混合效应的模型，中心氢丰度为零，考虑转动混合效应的情况时，在该时刻的中心质量氢丰度为0.0689.同时可以看出，不考虑转动混合效应时，中心氢的燃烧核的边界为4.596 M⊙，而转动混合效应造成此时的中心氢的燃烧核的边界为5.575 M⊙，因而转动混合效应可以增加恒星中心对流核的大小，使燃烧核的外边界变大，可以使外包层中氢元素进入核反应区参与核反应.图（c）给出两种情况下表面氦丰度的变化.发现当不考虑转动混合效应时，表面氦元素无变化（氦质量丰度为0.2828），但考虑转动混合效应时，主序结束时，氦质量丰度为0.2842，氦质量丰度增加了1.005倍.表明转动不稳定性产生的元素混合，将中心核反应区的氦，扩散至恒星表面，使表面氦元素有明显的超丰现象.从图8（d）中可以看出，氮元素增丰比较明显.不考虑转动时，氮元素质量丰度为5.0408×10-4保持不变，考虑转动混合后，主序结束后氮元素质量丰度为1.4627×10-3，其丰度增加了约2.8倍，氮增丰远比氦超丰明显.总之，转动混合将能解释4He，14N等元素超丰的现象.

图8

3　结论

转动对恒星结构与演化产生非常重要的影响.它主要对恒星产生两方面的作用——动力学效应和元素混合.它们的影响体现在：

1）转动的动力学效应使恒星演化具有较低的中心温度，较大的等价半径.

在主序前，中期阶段，转动的动力学效应使恒星中心密度和压强变高，这是由于离心力减弱了局地重力，流体元向内收缩以获得更大的重力来抵抗压强梯度的缘故.随后，由于恒星燃烧核收缩，形成的μ度抑制子午环流传输角动量，使转动核角速度加快，不利于外边界物质向中心坍缩形成，造成其中心密度变小.

2）演化初期，由于转动的动力学效应，中心密度变高，平均密度变低，所以恒星的紧密度变高.发现恒星紧密度的变化趋势与中心密度，中心压强等变化趋于一致.转动的动力学效应趋于使表面不透明度、中心平均分子量和表面熵减小.转动的动力学效应由于改变了等势面的形状，减小了表面的平均重力加速度，使恒星在主序阶段向HR图的低温低光度方向演化.

3）转动的元素混合效应使恒星在演化到中后期时有较低的中心温度、密度、压强、紧密度、平均分子量和表面熵.在主序结束时，转动恒星的中心集中度明显变高.转动的元素混合效应最主要的功能是使恒星中心的氦、氮元素转移到恒星表面，解释这些化学元素观测超丰的现象.另一方面，包层的氢元素也可以通过混合效应，进入核反应区，使核反应区扩大.因此转动效应的两个方面对恒星结构与演化均产生重要影响，它们各自的影响对比总结在表1中.

表1　动力学效应和元素扩散效应对恒星结构和演化的影响（其中“—”表示差别较小，区别不明显）

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Investigation on the effect of the rotation on stellar thermal structure and evolution

WANG Jiang-tao1，SONG Han-feng1，2，3，TAI Li-ting1
（1.Department of Physics，College of Science，Guizhou University，Guiyang，Guizhou 550025，China；
2.Key Laboratory for the Structure and Evolution of Celestial，Objects，Chinese Academy of Sciences，Kunming，Yunnan 650011，China；3.Joint Research Centre for Astronomy，National Astronomical Observatory-Guizhou University，Guiyang，Guizhou 550025，China）

The effect of rotation the structure and evolution can be divided into two sections，namely，the dynamical effect and rotational mixing.We have investigated the effect of rotation on the thermal structure of 20 M⊙，adopting the MESA code.The dynamical effect decreases the central temperature，surface opacity，mean molecular weight，and surface entropy.The dynamical effect of rotation can adjust the thermal structure and make the nuclear generation rate lower and cause the star to shift towards lower temperature and luminosity.The rotational mixing can reduce the central temperature，pressure，density，average molecular weight，surface opacity，and central compactness.The chemical elements，such as He，N can be enhanced due to rotational mixing.The region of the nuclear generation can be enlarged and the life span of the star can be extended.

stellar structure and evolution；rotation；mixing of chemical elements

P 144

A

1000-0712（2016）09-0037-09

2015-10-29；

2016-03-02

国家自然科学基金（11463002）、中科院天体结构与演化重点实验室开放课题（OP201107，OP201405）和贵州大学研究生创新基金（研理工2015055）共同资助

王江涛（1991—），男，陕西扶风人，贵州大学理学院物理系在读研究生，研究方向：天体物理.

宋汉峰，E-mail：songhanfeng@163.com