规则，有时就是一种约定——以除法竖式计算为例

江苏启东实验小学　高敏

规则，有时就是一种约定
——以除法竖式计算为例

江苏启东实验小学高敏

【教学探索】苏教版小学数学二年级下册《除法竖式计算》

【课前研读】

二年级下册的“除法竖式计算”是学生第一次接触表内除法的竖式计算，学生完全可以通过口算算出算式的结果，但是如何把计算过程通过除法竖式的形式呈现，学生没有经验。较多的学生认为除法竖式的书写和加减法竖式类似，长的样子应该是差不多的。由此可见本节课对学生而言，除法竖式书写意义的理解和认同是最关键的。

【教学过程】

一、除法竖式就该这样写

呈现情境图一：妈妈买了12个苹果，每4个放一盒，可以放几盒？

学生列出除法算式12÷4=3（盒）

师：我们已经学过加法、减法的竖式计算，那除法算式能不能也用竖式表示呢？试试看。

师：大伙儿怎么想的？

生：我想加法、减法的竖式就是这样写的，那除法的竖式就该也这样写。

（大多数学生点头表示同意）

思考：存在即合理，学生因为有了加法、减法竖式方法的耳濡目染，那么除法竖式是不是就应该如上面那个式子呢？显然学生的想法是一种合情推理。而当两个数整除时，这样的除法“竖式”表达形式又何尝不可，所以无须宣判方法的对错，随着学习的深入，这样的书写恰恰也为后面引导学生体会除法竖式和加减竖式的不同提供了重要契机。

二、这样写不清楚了

呈现情境图二：妈妈买了12个苹果。每5个放一盘，可以放几盘，还剩几个？

师：要解决这一问题，你是怎么想的？

生1：5个5个地去分，算式是12÷5=2（盒）……2（个）

生2：我想12里面有2个5，就可以放2盘，这样的话分掉了10个，那就还剩下2个。

生3：我也认为先想12里面有几个5，2就是商，再想分掉了10个，那余下就是2个了。

（图片出示学生的思维过程）

师：那能不能也用竖式的形式来写写这道除法算式？

生1：老师，我发现这条竖式不能表示余数啊！

生2：是呀，这个2是分掉了2盘，还是余下的2个苹果，不清楚。

……

思考：教学，要让学生从心底自觉悦纳、接受新的思想方法。此时学生发现底层的2不能精确地表示运算结果，这样叠加式的竖式书写格式就显出其局限性了。于是，一种适合除法本身特点的竖式计算形式成了孩子自发的真实的探究需要。

三、规定是有道理的

师：那怎样书写除法竖式就能清楚地表示出运算结果，让我们能看明白、看清楚呢？自学书本第4页。

交流：看了以后，有什么想说的、想问的？

生1：这样写感觉有点复杂。

生2：干吗要有两个12？

生3：我想这个符号）就相当于除号吧！

生4：我知道了2个“2”分别表示的意思了。

师：看来大家都有了一些想法，让我们一起先看左边这道竖式。谁来说说你的理解。

生1：我来讲讲为什么会有两个12，上面的12表示一共有12个苹果，下面的12表示分掉了12个苹果。

生2：我能讲得更清楚些，第一个12是妈妈一共买了12个苹果，然后4个一盘，正好放了3盘。下面这个12实际上就是4×3的积，表示这12个苹果都分掉了，所以最后还剩下0个苹果。

生3：我听明白了她们的想法，我想讲讲右边这道竖式。12表示的意思实际上是一样的，也是指一共有12个苹果。上面的2，表示5个一盘，能分到2盘，下面的2就表示剩下2个。

生4：我觉得这样写竖式，我们就能看得很明白，把分的过程都能表示出来了。

生5：我也觉得这样写好，因为如果像我们一开始这样写，最底层的数有些时候能表示最后的结果，有些时候却不能。

生6：现在我知道为什么除法竖式不像加法、减法竖式一样，它这样写是有道理的。

思考：教育是慢的艺术，学生的学习应像呼吸一样自然，显然经过上面的过程，除法的竖式在孩子眼里不再是机械的、生硬的，而是自然的、灵动的，从而产生对除法竖式的认同感。

【课后研思】

回顾历史，你能感受关于计算的原理性知识（比如位值原则、运算定律、数的分解与组成、计算的本质意义等），几千年前就已经明确，而至于计算的规则性知识（比如计算的步骤、竖式的书写等），变来变去，毫无定论，现在的样式不过三百多年历史。历史把整数的四则运算最终演变成现行的样式，每个细节的安排都是智慧的抉择。为了避免进位而改动先前计算结果的麻烦，历史选择了加法、减法、乘法从低位算起；为了尽量快地从被除数中减完除数，历史选择了首先设法减去除数的整百、整十倍，也就是从高位算起。除法竖式，可以像乘法那样写，可以写成一层，但除了之后若有余数继续再除的话，现在的样子才是最合适的。四则运算的竖式最终写成现在的样子，全因为这样写更为简洁和合适。由此，我们可以得到的数学教育启示是：数学不仅仅是解决问题的工具，也是重要的表达交流的语言形式。运用数学知识去推理去解决问题是种智慧，用贴切的方法和形式把想法简明而又清楚地表达出来，同样也是一种智慧。所以，教学中一定要给予学生表达交流的机会，不然，学生学的便是“哑巴数学”，只会解题，不会表达交流。

可以想象，历史上乘除计算的各种竖式都是那个时代较为典型和有用的办法，不然的话，也不会记录在史书中被传承下来。计算过程记录与表达的简洁是个历史性概念，不同的时期有不同的理解与不同的约定。19世纪，最早在奥地利使用了这样的除法计算办法，即每次商后把乘、减的过程压缩成了只写减得的差。以计算“272862÷978”为例，如商“2”和“978”的乘积被“2728”减，只写出了所得的差“772”；商“7”和“978”的乘积被“7726”减，只写出了所得的差“880”；商“9”和“978”的乘积被“8802”减，其差为0，不再写出了。（如下式）

无疑，这种办法更为简洁，但却没有成为历史的最终选择。比起来，无疑，现在的笔算术是计算道理和书写表达结合得比较合适的。简，简到什么程度，大家协商觉得合适就是了。

数学，是人类的一种创造，因此，有些知识就是各种办法间的协商与约定。

对数学来说，越是机械的，才越是好的方法；对儿童来说，越是他们自己的方法，才越是有潜能的方法。这两者间，很多时候是不一致的。在一般意义上，我们要优先让儿童自己去琢磨他们个性化的方法，去引出他们的巧妙方法，接着比较概括各种巧妙方法的共同点，引导他们向着数学的通用方法去。这一路，越急越体现不出数学的高明和智慧，越急越享受不了儿童自己思考的快乐。让儿童们个性化的方法多用一会，甚至允许个别学生用他们的办法去进行计算，这些办法虽然和现行规范算法相比是烦琐的，但也许对他们看来正合适，这正是教育可贵的儿童视角的体现。

☆本文系江苏省教育科学“十二五”规划重点资助课题“数学史视野下的小学数学教学的案例研究”（批准号：B-a/2013/02/002）的研究成果之一。♪