三次Bezier曲线的生成与拼接

李红林

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【摘 要】本文利用VC++编程环境，生成两段三次Bezier曲线，并对曲线进行连续性条件讨论，且实现了曲线拼接。

【关键词】三次；Bezier；连续性；曲线拼接

【Abstract】In this paper， the VC++ programming environment is used to generate three Bezier curves， and the continuity conditions are discussed， and the curves are achieved

【Key words】Cubic； Bezier； Continuity； Curve Splicing

Bezier曲线是由法国人Bezier于20世纪70年代初为解决汽车外型设计而提出的一种新的参数表示方法[1]。Bezier 方法是曲线、曲面造型中的一个里程碑，它以逼近原理为基础，应用Bezier方法，可逼近数学曲线、曲面或设计师勾画的草图，起到辅助设计的作用[2-3]。由于实际应用中的线和面形状复杂，用单一曲线、曲面无法表示，所以有必要对曲线、曲面进行拼接。

1 定义

1.1 Bezier曲线的定义

2 三次Bezier曲线的生成

在VC++6.0 环境下，新建一个基于MFC的单文档工程。在工程View.cpp中添加Bezier曲线生成函数，当n=3时，生成任意两条三次Bezier曲线，如图1所示。

3 三次Bezier曲线的拼接及连续性

样条曲线是由各个多项式曲线段连接而成，为了保证各个曲线段在连接点处是光滑的，需要满足各种连续性条件[5]。连续性有参数连续性和几何连续性。若两条相邻参数曲线段在连接点处具有n阶连续导矢，即n阶连续可微，则将这类连续性称为n阶参数连续性条件，记为Cn。若只要求两条相邻参数曲线段在连接点处的n阶导矢成比例，而不要求必须相等，则将这类连续性称为n阶几何连续性，记为Gn。因参数连续性条件比几何连续性条件更加苛刻一些。所以，在三次Bezier曲线拼接时以几何连续性为例。

设两条三次Bezier 曲线的控制点列分别为Pi（i=0，1，2，3）和Qj（j =0，1，2，3）。若将P（t）段与Q（t）相连，则在连接点处达到G0、 G1、G2连续的充要条件是：

（1）G0连续：P（1）=Q（0）。即P（t）的终点与Q（t）的起点重合，如图2 所示，曲线在连接点处不能保证是光滑连接。

（2）G1连续：是两段相邻曲线在连接点处不仅达到G0连续，同时一阶导数成比例，即P（1）=αQ（0），其中α是比例系数。具有G1连续，在连接点处有公共的切矢方向，即P2，P3（Q0），Q1三点共线，如图3所示。

（3）G2连续：指两段相邻曲线段的一阶导数、二阶导数在交点处均成比例。P（1）=αQ（0），P（1）=βQ（0）。G2连续除了满足G1 条件外，还满足：副法矢方向相同、曲率相等。

4 结论

本文首先对三次Bezier曲线进行了简单分析与实现；其次对曲线的连续性进行分析；最后对生成的三次Bezier曲线进行拼接。该拼接方法可实现任意次的Bezier曲线的拼接。

【参考文献】

[1]杜晓增，丁宇辰.计算机图形学基础[M].2版.北京：机械工业出版社，2013：103.

[2]严兰兰，宋来忠，李军成.有理Bezier 曲线的拼接[J].三峡大学学报：自然科学版，2005，27（5）：469-471.

[3]杨林英.Bezier曲线的拼接及扩展[D].兰州：西北师范大学，2013.

[4]芦殿军.Bezier 曲线的拼接及其连续性[J].青海大学学报：自然科学版，2004，22（6）：84-86.

[5]银红霞，杜四春，蔡立军.计算机图形学[M].北京：水利水电出版社，2005：133-134.

[责任编辑：杨玉洁]