基于多维线性系统的输出反馈鲁棒重复控制研究

贺娟，陈继琼

（遵义师范学院物理与机电工程学院，贵州遵义563002）

基于多维线性系统的输出反馈鲁棒重复控制研究

贺娟，陈继琼

（遵义师范学院物理与机电工程学院，贵州遵义563002）

重复控制方法已在很多复杂的控制系统中得到了广泛的应用。针对一类多维线性系统，提出输出反馈鲁棒重复控制方法。根据重复控制的设计方法，建立了系统模型，结合Lypapunov函数和线性矩阵不等式（LMI），推导出闭环系统的稳定条件。仿真实例表明所设计的重复控制系统具有较好的鲁棒稳定性和系统跟踪性能。

LMI；重复控制；鲁棒性；多维线性系统

0　引言

重复控制理论[1⁃4]首先是由日本学者Inoue等提出来的一种鲁棒控制理论，此控制理论不同于其他控制系统，具有自学习、自适应的功能，其目的是设计一种控制器，使整个系统高精度地跟踪任意的周期参考信号。从控制理论的观点来看，这种控制系统的自学习机制实际上是将周期信号的动态模型植入了系统的重复控制器中，从理论上保证了人类学习中循序渐进的实现，最终实现对于任意周期输入信号的高精度跟踪。很多学者在此基础上开始对一维和二维系统进行理论的研究，本文将此方法用于多维控制系统中。

1　多维线性系统控制问题描述

基本的重复控制系统如图1所示。其中CR(s)为重复控制器，它是周期信号发生器的严密动态模型，T为时滞环节的延时时间，也就是参考信号的周期。虚线框所示部分的传递函数为：

跟踪误差为：

若设：

则CR(t)的时域表达式为：

图1 基本的重复控制系统

图1中被控对象G(t)为单输入/单输出的正则线性系统：

式中：x(t)为n维状态变量，即x(t)∈Rn；u(t),y(t)分别为控制对象G(t)的输入和输出，u(t)∈R,y(t)∈R；A，B，C，D分别为具有多维实数矩阵，由系统的正则性可知D≠0。因此可以得到基于静态输出反馈的重复控制系统结构图如图2所示。

图2　基于静态输出反馈的重复控制系统结构图

则静态输出反馈控制律为：

式中ke,ky分别为重复控制器的前馈增益和输出反馈增益。寻求静态控制增益ke,ky就是重复控制系统的设计问题，它们使得图2所示的重复控制系统在控制律（2）的作用下鲁棒稳定，并且能使稳态跟踪误差趋向于零。

由式（1）和式（2）得：

由于v(t)=e(t)+v(t-T)，v(t)中既包含了本周期的控制结果e(t)，又包含了对上周期的学习效应v(t-T)。因此静态输出反馈控制律（2）中的控制增益ke或ky都不能单独调节重复控制过程中的控制或学习。为了从根本上改善系统的特性，必须独立地调节重复控制过程中的控制和学习行为，下面在多维空间上对图2进行重复控制系统进行精确的描述。先将无限区间[0,∞)划分为无限多个有限区间[kT,(k+1)T],(k=0,1,2…),∀t∈[0,∞)，这样就存在一个区间[kT,(k+1)T]，使得t=kT+τ,且τ∈[0,T)。于是，时域变量ξ(t)可以表示为ξ(t)=ξ(kT+τ)=ξ(k,τ),Δξ(t)=Δξ(k,τ)-Δξ(k-1,τ)。对于给定的参考输入信号r(t)，跟踪误差为：

考虑图2所示的重复控制系统中各个变量在周期之间的状态变化，得到连续/离散多维模型：

反馈控制律（2）的多维空间描述为：

由式（3）～式（5）可以得到：

与时域空间中的控制律（3）相比，多维空间描述的控制律（5）的特点是能够通过调节增益k1和k2来独立调节一个周期之内的控制行为Δx(k,τ)和各个周期之间的学习过e(k-1,τ)。并且由式（6）即可得到静态输出反馈控制律中的增益：

式中：

2　基于输出反馈的重复控制器设计

结合以上的描述，将图2所示的重复控制系统的设计转化为连续/离散多维系统（4）的镇定控制器设计问题。因此，将式（5）代入式（4）得到如图2所示的闭环系统：

再通过构造Lypapunov函数，利用多维系统稳定性理论结合输出矩阵的结构奇异值分解，以LMI的形式得到系统（4）在控制器（5）作用下的稳定条件：

定理1如果存在正定对称矩阵X11,X22,X2，以及合适的矩阵W1,W2，使得如下LMI：

成立，其中C=U[S0] VT，S≥0是半正定矩阵，U,V是酉矩阵。

则多维线性系统（4）在控制器（5）的作用下渐近稳定，控制器增益为：

3　系统仿真[5⁃6]

本文将上述设计的重复控制器应用于某电机控制机械臂系统中。它的系统输入为电枢电压控制输入信号，输出为机械臂的转矩，由状态空间建模描述为控制对象（1）的形式。取控制对象（1）为三维矩阵，其参数如下：

取响应信号为周期信号：

首先，运用Matlab工具箱来求得式（10）中的LMI的可行解，代入式（11）得到k1=-0.299 6,k2=0.343 8。

接着把k1,k2代入式（7）和式（8）可以得到：ke=0.745 7,ky=0.318 1。

仿真结果如图3～图5所示，采用传统的PID控制（其中KP=10，KI=5，KD=1）系统，其仿真结果如图6所示。

图3　控制律（2）作用下的输入/输出跟踪曲线

图4　控制律（2）的仿真曲线

图5　重复控制的跟踪误差仿真曲线

由仿真结果可以看出：此重复控制系统的跟踪误差小，当t＝3.5 s时系统的稳态误差就等于零。用传统的PID控制其仿真图如图6所示，而其稳态跟踪误差在t= 6.5 s时才等于零。将仿真图5和图6相比较，可见本文提出的对于多维线性系统的输出反馈重复控制方法优越于传统的PID控制方法，并且具有较好的鲁棒稳定性和跟踪性能，在控制系统中具有更实际的意义。

图6　传统PID控制的跟踪误差仿真曲线

4　结语

本文针对一类多维线性系统，提出了输出反馈鲁棒重复控制方法。根据重复控制的设计方法，建立了多维线性模型，结合Lypapunov函数和线性矩阵不等式（LMI）方法，推导出闭环系统的稳定条件，同时以LMI的形式给出。数值仿真实例表明所设计的重复控制系统具有较好的鲁棒稳定性和系统跟踪性能。

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Robust repetitive control of output feedback based on multidimensional linear system

HE Juan，CHEN Jiqiong
（School of Physics and Electromechanical Engineering，Zunyi Normal College，Zunyi 563002，China）

The repetitive control method has been widely used in many complex control system.In this paper，the robust re⁃petitive control method of output feedback is put forward for the first class multidimensional linear system.The system model was established according to the design method of repetitive control.The stability conditions of closed⁃loop system were derived in combination with the Lypapunov function and linear matrix inequality（LMI）method.Simulation results show that the repeti⁃tive control system has high robust stability and tracking performance.

LMI；repetitive control；robustness；multidimensional linear system

TN911⁃34；TB21

A

1004⁃373X（2016）02⁃0012⁃03

10.16652/j.issn.1004⁃373x.2016.02.004

贺娟（1974—），女，湖南娄底人，副教授，硕士。研究方向为信号处理、在线监测以及智能控制。

2015⁃06⁃25

国家自然科学基金（11464052）；贵州省科学技术基金（黔科合J字[2013]2306，黔科合J字[2012]2345；黔科合J字LKZS[2014]05）；贵州省优秀科技教育人才省长基金（黔省专合字（2012）87）；贵州省教育厅重点项目（黔教合KY字（2013）171）；贵州省教育厅电子制造产学研项目（黔教合KY字[2014]230号）；贵州省重点学科（黔学位办[2013]18号）支持。