正交柱面透镜的椭圆(双曲)型等厚干涉条纹

周 国 全

(武汉大学 物理科学与技术学院，湖北 武汉　430072)



正交柱面透镜的椭圆(双曲)型等厚干涉条纹

周 国 全

(武汉大学 物理科学与技术学院，湖北 武汉430072)

运用分类和归纳的方法，本文研究讨论了两种新发现的正交平凸-平凸(平凹)柱面透镜间的等厚干涉椭圆(双曲)条纹，推导并分析了这两类新的干涉结构发生等厚干涉的条件及干涉条纹的分布规律.相较于原有的牛顿环干涉仪，本文新设计的干涉装置既具相似性又有新颖性，扩展了牛顿环等厚干涉学术研究的范围，并简述了其可能的技术应用.

牛顿环；干涉；等厚干涉; 柱面透镜；椭圆条纹; 双曲条纹

牛顿环干涉属于典型的振幅分割式双光束等厚干涉,并存在若干等效的变异结构[1-6].文献[5]论述了切触式牛顿环干涉装置的若干变异结构——平凸-平凹内切触牛顿环干涉结构及平凸-平凸外切触牛顿环干涉结构；文献[6]论述了其另外两类变异的牛顿环干涉装置——非接触式牛顿环干涉结构(包括平凸-平板型，平凸-平凹叠合型，平凸-平凸对顶型)以及浅近切割式牛顿环干涉装置(主要论述了平凸-平板浅近切割式变异结构，包括截顶式与嵌入式两种). 由它们所得的干涉环纹具有与平行膜、矩形腔及大顶角等腰劈中所产生的等倾干涉圆环相似的分布规律[7,8]——相邻暗环(或亮环)的半径之平方差是一个无关于干涉序的恒量，仅依赖于诸透镜的曲率半径、相对位置及入射光的波长.文献[9]又论述了牛顿环干涉装置的一类变异结构——由柱面透镜光具组构成的牛顿型等厚直纹干涉装置.这种变异干涉结构的形态特点是上下两个柱面透镜的轴线平行、共面且是整个装置的对称面.相邻暗纹(或亮纹)到中央直暗纹的距离平方差是一个无关于干涉序的恒量，仅依赖于诸柱面透镜的曲率半径、相对位置及入射光的波长.

本文将分析讨论柱面透镜组干涉装置的另一大类变异的干涉结构,它们与文献[9]的干涉装置具有相同的干涉元件但有不同的干涉结构：一类是正交平凸-平凸柱面透镜组，在光线傍轴垂直入射时可得等厚椭圆条纹；另一类是正交平凸-平凹柱面透镜组，在光线傍轴垂直入射时可得等厚双曲条纹.所谓正交柱面透镜组，即两者的母线与轴线都对应的相互垂直，但平面剖面相互平行的平凸-平凸(凹)柱面透镜组.在对柱面透镜的曲率半径作适当的符号规定之后,本文还将推导和分析两类新的干涉结构发生等厚干涉的统一的条纹分布律.

1　正交柱面透镜间的等厚干涉

1.1平凸柱面-平板结构在傍轴垂直入射时一个几何公式

为便于后文讨论，我们先简要证明一个几何公式.在平凸柱面透镜与平板玻璃相切(柱面透镜的平面剖面与平板平行)，且光线傍轴垂直入射时,空气隙的厚度远小于柱面半径，即e<

e=r2/2R

(1)

如图1所示，在边长分别为R、R-e、r构成的直角三角形中运用勾股定理，可得

R2=(R-e)2+r2

(2)

2Re-e2=r2

(3)

当光线傍轴垂直入射时,e<

2Re=r2

(4)

即得式(1).下文的讨论即基于光线在傍轴垂直入射时所满足的式(1).

图1　傍轴垂直入射情形平凸柱面-平板结构的轴向侧视图

1.2平凸-平凸(平凹)柱面透镜间的等厚椭圆(双曲)条纹及统一的分布律

首先制作一套如图2所示的干涉装具, 使上下两个平凸柱面透镜背靠背相切而放置，并使两透镜的平面剖面相互平行，对称轴相互垂直，再以波长为λ的可见单色光沿z轴方向垂直入射，在两个圆柱表面之间就能发生反射式等厚干涉；借助于牛顿环干涉装具所用的读数显微镜，这样构成的等厚干涉装置确实能观察到预期的椭圆形牛顿环纹.下面从光的干涉原理出发探讨其干涉条件及干涉条纹的分布规律.

图2　平凸-平凸柱面正交等厚干涉结构

选两柱面的切点O作为空间直角坐标系Oxyz的原点，取下侧柱面(半径为R2)的过切点O的母线为x轴；取上侧柱面(半径为R1)的过切点O的母线为y轴，并在上下两个柱面上分别各取一点P、Q，使PQ垂直于xOy平面，平行于z轴；点P、Q的坐标分别为P(x,y,zp),Q(x,y,zQ). 根据傍轴垂直入射时几何公式(1)，P、Q两点到xOy切平面的距离分别为

其中rx=x；ry=y分别是点P到zOy平面、Q到zOx平面的距离, (x,y,zP)与(x,y,zQ)分别是P、Q两点的坐标. 考虑反射时的半波损失，设n为柱面间介质(如空气)的折射率，真空波长为λ的入射光线在上下两个柱面的反射光程差为ΔL=2n(zP-zQ)+λ/2=2n(e1+e2)+λ/2=

2n(x2/2R1+y2/2R2)+λ/2=

n(x2/R1+y2/R2)+λ/2

(6)

若PQ两点在xOy平面的投影点(x,y)落在第k级亮(暗)纹上，则ΔL须满足条件

ΔL=n(x2/R1+y2/R2)+λ/2=

(7)

当k>0时，不妨假设R1>R2，由式(7)可得

(8)

这显然是正椭圆形的第k级干涉暗环，其半长轴与半短轴分别为

(9)

并满足如下规律：

(10)

(11)

(12)

(13)

这显然是正椭圆形的第k级干涉亮环，其半长轴与半短轴分别为

(14)

(15)

并满足如下规律

(16)

(17)

(18)

也是与干涉序k无关的常量.式(12)与式(18)的几何意义是两个相邻亮(或暗)环椭圆具有与干涉序无关的不变的面积之差，即

ΔS=πAk+1Bk+1-πAkBk=

(19)

在这个不变量中，Ak+1、Bk+1、Ak、Bk可直接测量，n是已知折射率常量；λ、R1、R2之一是被测对象，只要知道其中两者，即可算出剩余未知对象.

我们再分析干涉条纹的光强随光程差ΔL或气隙高度e1+e2(=zP-zQ)，及入射点位置(x,y)的变化规律. 设光线在上侧柱体表面向柱体内的反射振幅为Λ1, 它与来自下侧柱体表面反射的振幅为Λ2的光线可近似认为相遇并干涉于上侧柱体表面，运用式(6)，其相位差的空间分布函数为

δ(x,y)=2πΔL/λ=2πn(x2/R1+y2/R2)/λ+π

(20)

透过读数显微镜可观看到椭圆状干涉条纹，其光强I(x,y)的表达式为

(21)

举例说明，设上、下侧平凸柱面透镜的曲率半径分别为R1=1.85 m与R2=0.86 m，空气折射率取为n=1.00; 按如图2所示组装成等厚干涉系统. 根据

图3　在R1=1.85 m,R2=0.86 m时，椭圆形干涉条纹示意图，其中白色亮线为亮纹轨迹，黑色暗线为暗纹轨迹

图4　在R1=1.85 m,R2=0.86 m,n=1.00,I1=I2=1.00,λ=589.3 nm时，椭圆型干涉条纹的相对光强随空间位置(x,y)的变化的模拟图.

从计算得到的数据分析可知, 利用光学实验室现有读数显微镜是可以分辨、并观测以上条纹特征间隔的. 另一方面, 从式(14)至式(17)及以上计算可得出条纹特征间隔随干涉序的增加而减小的规律.

相比于平行膜或矩形腔的等倾干涉条纹[3-4,7]，本文的等厚干涉条纹具有相似的分布规律: 相邻两环纹所围的面积皆为无关于干涉序的常量，而前者中央部分条纹的光程差最大，因而干涉序最大，后者中央部分条纹的光程差最小，因而干涉序最小，两者间形成鲜明对比.

另一方面，不难发现，只要将两正交柱面透镜的曲率半径R1、R2视为代数量(因而e1、e2也为代数量)，并作统一的符号规定，就能将平凸-平凸与平凸-平凹两种正交干涉结构的干涉条件与条纹分布律表达为统一的形式. 具体的符号规定为：平凸柱面的曲率半径为正；平凹柱面的曲率半径为负. 按此规定，图2中上下两个平凸柱面透镜的曲率半径R1(从而e1)、R2(从而e2) 的符号为正, 而当下侧柱面透镜为平凹柱面时，其曲率半径R2(从而e2) 的符号为负(此时bk,Bk为纯虚数)，如图5所示，就是正交平凸-平凹柱面透镜构成的等厚干涉装具.

图5　平凸-平凹柱面正交等厚干涉结构

在此符号规则之下，两种干涉装置对应的光程差与干涉条件可分别统一于式(6)和(7)，暗条纹与亮条纹的轨迹方程可分别统一于式(8)至式(13)，尤其是暗条纹间距的分布规律可统一于式(10)和式(11)，而亮条纹间距的分布规律可统一于式(16)和式(17). 虽然不变的面积差公式(19)为平凸-平凸柱面干涉结构所独有，但不变的乘积差公式亦可统一于式(12)、(18). 与平凸-平凸干涉结构的不同之处在于，平凸-平凹正交干涉结构的干涉条件与条纹分布律有一个鲜明的特点, 它允许k取负整数或零, 因为此时光程差可为负值或零, 这使得其双曲条纹拥有开口分别在x、y两个方向的双曲线族. 以暗纹为例, 讨论当R2的符号为负时, 平凸-平凹柱面正交等厚干涉产生的条纹的形状与分布规律. 当R1>0,R2<0,k>0时，式(8)即如下双曲线方程

(22)

(23)

(24)

式(23)、(24)的规律与干涉序k无关. 而当R1>0,R2<0,k>0时双曲亮纹的方程为

(25)

(26)

(27)

类似于式(12)与式(18)，还有如下不变的乘积差公式

(28)

(29)

式(26)至式(29) 的规律同样与干涉序k无关.图6给出了双曲型干涉条纹的示意图. 这里要特别注意，前面讨论的是R1>0,R2<0,k>0的情形, 焦点在x轴上, 对应于开口在x方向的双曲线族；而在R1>0,R2<0,k<0时, 式(8)描述的是焦点在y轴上, 对应于开口在y轴方向的双曲线族.需要特别强调的是: 由于R1>0,R2<0,k=0满足式(7)中的暗条纹条件，它对应于两个双曲线族共有的两条渐近线暗直纹. 图7则给出了根据式(20)和式(21)绘制的双曲型条纹的相对光强随空间(x,y)而变化的模拟图

图6　在R1=1.85 m,R2=-0.86 m时，双曲型干涉条纹的示意图，其中白色亮线为亮纹轨迹，黑色暗线为暗纹轨迹

图7　在R1=1.85 m,R2=0.86 m,n=1.00,I1=I2=1.00,λ=589.3 nm时，双曲型干涉条纹的相对光强随空间位置(x,y)的变化的模拟图.

2　结语

无论哪一种牛顿型于等厚干涉干涉装置，入射光在上、下两个光学表面反射点之间的高度差决定了上、下两表面反射线之间的光程差，从而决定了干涉场的光强；因此光学表面上等高差点(即等厚点)的轨迹即决定了条纹的形状. 于是干涉装置的结构对称性，决定了条纹分布的对称性. 平凸-平凸(平凹)正交柱面透镜组干涉装置, 关于各自的对称轴均具有左右镜像对称性，正好导致相应的等厚环纹具有纵横两个镜像对称轴. 具体而言，在单色光傍轴垂直入射情形，平凸-平凸正交柱面透镜组干涉装置,将产生等厚椭圆干涉条纹；而平凸-平凹正交柱面透镜组干涉装置，将产生等厚双曲干涉条纹, 且条纹分布从内向外，由稀变密, 但遵守相邻亮(暗)条纹的特征间隔平方差不变的分布规律. 在对柱面曲率半径作适当的符号规定之后, 两类干涉结构的等厚条纹满足统一代数分布规律.

本文结果可用于测定待测平凸柱面工件的曲率半径；亦可用于测定未知入射光的波长；通过分光计测量平凸-平凹正交柱面透镜组的两渐近线暗直纹之间的夹角, 可以计算梁柱面的半径之比，这为测量未知柱面透镜的曲率半径提供一种简单而可靠的途径.尤其是观测渐近线暗直纹之是否准直，在光学柱面工件的表面加工质量的检测方面会有重要应用; 还可用于判定两平凸柱面工件是否处于严格正交(母线正交，对称面正交，对称轴也正交). 另一方面，本文所述的干涉装置，壮大了等厚干涉尤其是牛顿环干涉技术的大家族，有望丰富和充实等厚干涉的教学内容，尤其为牛顿环干涉技术的教学研究注入了新的活力.

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The equal-thickness elliptic (hyperbola) fringes for two crossed column lens

ZHOU Guo-quan

(School of Physics and Technology, Wuhan University, Wuhan, Hubei 430072, China)

By means of classification and induction, some new variant structures of Newton-type interference apparatus for two crossed convex (or concave) column lens are found and studied, which can generate equal-thickness elliptical (or hyperbola) fringes. The interference conditions and distribution laws of the fringes are derived, analyzed, and formulized in a unified form. Compared with the original interferometer for Newton’s rings, our new designed interferometers are of not only similarity but also novelty. Thus, the academic research scope for the interferometry of Newton’s rings has been extended, and their possible technique applications are concisely indicated.

Newton’s rings; interference; equal-thickness interference; column lens; elliptic fringes; hyperbolic fringes

2015-02 -27；

2015-12-07

国家级教学团队基金资助项目(202276003).

周国全，(1965—)男，湖北汉川人, 博士，武汉大学物理科学与技术学院副教授, 主要从事普物与理论物理教学, 及场论与非线性可积方程研究工作.

教学讨论

O 436.1

A

1000- 0712(2016)07- 0006- 06