Hilbert空间连续K-框架的冗余与扰动性

范丽兰, 舒志彪

(福州大学数学与计算机科学学院, 福建 福州　350116)



Hilbert空间连续K-框架的冗余与扰动性

范丽兰, 舒志彪

(福州大学数学与计算机科学学院, 福建 福州350116)

基于连续K-框架的定义， 给出了Hilbert空间连续K-框架的两个等价刻画. 在连续K-框架中挖去部分元素还构成连续K-框架的两个充分条件和不构成连续K-框架的一个充分条件, 利用合成算子和两个连续Bessel映射的有界线性算子SF, G去刻画连续K-框架. 最后讨论Hilbert空间连续K-框架的扰动.

连续K-框架; Hilbert空间; 冗余; 扰动

1　引言

目前学者对连续K-框架研究甚少, 而连续K-框架比K-框架更一般, 因此在K-框架中成立的命题在连续K-框架不一定成立. 所以, 很有必要对连续K-框架进行更深入的研究. 本文讨论了在Hilbert空间连续K-框架的两种等价刻画， 讨论了连续K-框架的扰动和冗余性.

本文采用的记号如下: H表示一个可分复Hilbert空间, Ω表示一个测度空间, 其上的测度记为μ. 对两个Hilbert空间H1, H2, 用L(H1, H2)表示所有H1到H2的有界线性算子的集合. 设T∈L(H1, H2), K∈L(H), 用R(T)表示T的值域, FK(H)表示H中所有连续K-框架集合.

定义1设(Ω,μ)为测度空间, 且μ是σ-有限测度,K∈L(H)， 映射F:Ω→H称为H中的连续K-框架, 若满足以下两个条件:

1)F是弱可测的, 即对任意的f∈H,φ:Ω→C,φ(ω)=〈f,F(ω)〉,ω∈Ω,φ是Ω上的可测函数.

2) 存在正数A,B使得

(1)

A, B分别是连续K-框架的下界和上界. 如果(1)式中右边的不等式成立, 则称F为H中的连续Bessel映射, 简称Bessel映射.

注1若有界线性算子K=I, 则连续K-框架就变成了连续框架(见文[5]).

注 2在下文如无特别说明, 都假定K具有闭值域, 因为这样才能保证K+的存在.

本文中还经常用到有界线性算子的伪逆, 为此给出伪逆的定义.

定义2设H1,H2是两个Hilbert空间,Q∈L(H1,H2), 称Q+:H2→H1为Q的伪逆算子, 如果Q+满足QQ+Q=Q. 特别地, 若y∈R(Q), 有QQ+y=y.

引理1[14]设H1,H2为可分Hilbert空间,T1∈L(H1,H2) ,T2∈L(H1,H2). 则下面的论述等价.

1)R(T1)⊂R(T2);

3) 存在有界线性算子X∈L(H1,H2)使得T1=T2X.

2　主要结论

定理1设K1,K2∈L(H), 则当且仅当R(K1)⊃R(K2)时, FK1(H)⊂FK2(H).

证明1) 充分性. 设R(K1)⊃R(K2), 则利用引理1, 可得对∀f∈H有

下面的定理比文献[9]中命题2.5更一般, 即当K=I时即命题2.5.

定理2设(Ω,μ)为测度空间, 且μ是σ-有限的,K∈L(H), 则{F(ω)}ω∈Ω⊂H是连续K-框架且界为A,B的充要条件是

(2)

对任意的f∈D都成立, 其中D是H的一个稠密子集.

2) 必要性. 先证明F是以B为界的Bessel映射.

那么存在m∈N, 使得

(3)

(4)

两边同时取和可得

(5)

这与式(3)矛盾, 所以F是以B为界的Bessel映射.

下面再证F的下界为A.

(6)

因此

(7)

利用式(6), (7)和三角不等式, 可得

因为ε的任意性, 故结论得证.

接下来讨论Hilbert空间连续K-框架的冗余性, 即在连续K-框架中删除一些元素后是否还构成连续K-框架. 一般情况下, 在连续K-框架的基础上删除某些元素后不能确定是不是连续K-框架. 下面给出删除某些元素后还构成连续K-框架的两个充分条件和一个不构成连续K-框架的一个充分条件.

引理 2[15]设(Ω,μ)为测度空间,μ是σ-有限测度,H是n维的Hilbert空间,F:Ω→H是一个Bessel映射, 则

定理3设(Ω,μ)为测度空间, 且μ是σ-有限测度, {F(ω)}ω∈Ω为n维的Hilbert空间H中的连续K-框架, 且界为A,B. 设ΩI⊂Ω,I是指标集, 且R(K)⊂H是闭的, 则下面的叙述成立.

由此可得

(8)

又{F(ω)}ω∈Ω为H中的连续K-框架, 且界为A,B, 即有

(9)

联合式(8)和(9)得

(10)

另一方面, 设f∈R(K)⊥⊂H, 对任意的g∈H, 有〈K*f,g〉=〈f,Kg〉=0, 所以

(11)

(12)

定义5[9]设(Ω,μ)为测度空间,μ是σ-有限的,F,G是Ω→H的连续Bessel映射, 上界分别为B,D>0, 定义算子

(13)

定理4设(Ω,μ)为测度空间,μ是σ-有限测度,F,G是Ω→H的连续Bessel映射, 且上界分别为B,D>0.

2) 如果存在λ1,λ2∈(-1, 1), 使得

(14)

2) 对∀f∈H, 由式(14)可得

(15)

证明由三角不等式和式(15), 对∀f∈H有

所以

同理得

所以

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(责任编辑： 林晓)

Excess and perturbation of continuousK-frames in Hilbert spaces

FAN Lilan, SHU Zhibiao

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian, 350116, China)

Based on the definition of the continuousK-frames, we propose two kinds of equivalent characterizations for continuousK-frames. We also give two sufficient conditions for the remainder of a continuousK-frame after deleting some elements to be a continuousK-frame and a sufficient condition for the remainder to be not a continuousK-frame. We characterize the continuousK-frames by the synthesis operator and a bounder operatorSF, Gassociated with two continuous Bessel mappings. Finally, we discuss the perturbation of continuousK-frames in Hilbert spaces.

continuousK-frame; Hilbert spaces; excess; perturbation

10.7631/issn.1000-2243.2016.01.0006

1000-2243(2016)01-0006-06

2013-06-11

舒志彪(1958- )， 副教授， 主要从事小波分析、 图像处理、 信息隐藏等方面研究，szb@fzu.edu.cn

福建省自然科学基金资助项目(2012J01005)； 国家自然科学基金数学天元基金资助项目(11226099)； 福州大学科技发展基金资助项目(2012-XQ-29)

O177.1

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