均质柱形刚体转动惯量的计算

何艳，邓磊，谢艳丁，罗志娟，喻莉



均质柱形刚体转动惯量的计算

何艳，邓磊，谢艳丁，罗志娟，喻莉

（空军预警学院 基础部，湖北 武汉 430019）

从刚体转动惯量的定义出发，结合刚体的平行轴定理和“补偿法”，通过选取不同的“微元”，计算了不同情形的均质柱形刚体的转动惯量，并强调了物理“微元法”的思想，强化了物理概念、定理的运用，而且将结论进行推广讨论．

转动惯量；微元法；平行轴定理；补偿法

转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量，它是刚体力学中的重要概念，在工程技术、航天、机械和仪表等领域中也是一个重要参数[1]．刚体转动惯量的理解和计算一直是教学中的难点，通过对刚体转动惯量的计算，不但可以帮助学生掌握其计算方法，而且更有助于较好地理解物理学中重要的“微元法”的思想，掌握好“微元法”的物理思想是学好大学物理力学和电磁学部分的关键所在[2]．本文用“微元法”对不同情形的对称均质圆柱形刚体的转动惯量进行计算，通过分割、近似、求和及取极限等过程，即高等数学中求定积分的定义，让学生理解该物理思想方法的精髓并灵活掌握转动惯量的计算方法，从而加深对刚体转动惯量物理意义的理解．

1 均质圆柱体对中心轴转动惯量的计算

则整个刚体的转动惯量为每一微元对转轴转动惯量的无限求和，即计算质量连续均匀分布的刚体的转动惯量实际上就是微积分的过程[4]

式（3）就是质量均匀分布的圆柱体对中心转轴的转动惯量．

该圆盘状微元相对中心轴的转动惯量为

信托是由委托人、受托人以效率为原则而进行的一种双向市场选择行为。参考信托法对 “信托”含义的界定，结合现行法律关于土地制度的规定，农村土地信托应是在坚持集体所有权和土地承包权不变的前提下，土地信托服务机构接受土地承包者的委托，按照土地使用权市场化需求，通过一定的法律程序，将农户拥有的土地承包经营权在一定期限内依法、有偿转让给其他公民、法人或其他组织从事农业经营活动的行为。

则均质圆柱体对中心转轴的转动惯量为

结果与取任意微元计算的结果相同，但更方便，易理解．

图2 均质实心圆柱体轴向圆盘状微元

图3 均质轴对称圆筒

2 均质圆筒对中心转轴转动惯量的计算

类似于以上情形，根据转动惯量的定义，再通过微积分的方法自然可以计算出此种情形的转动惯量．对于均质圆筒，既可以借助于柱面坐标系取任意“微元”，也可以沿着中心对称轴（轴）将均质圆筒分割为一个个薄圆环作为“微元”．给出取任意微元的计算过程，另一种方法从略．

当然，均质圆筒可看成是在一个大的均质实心圆柱体对同一中心轴挖去了一个等高的小圆柱体，并设半径为的实心均质圆柱体的质量为．因此，可以借助于补偿的方法进行计算[6]．于是均质圆筒对中心转轴的转动惯量等于半径为的实心均质圆柱体对中心转轴的转动惯量减去半径为的实心均质圆柱体对中心转轴的转动惯量，且两均质圆柱体的质量密度分布相同有

式（8）即为均质圆筒对中心转轴的转动惯量，其结果与圆筒的高度无关．

讨论：

3 均质平行中心轴挖空的圆柱壳

图4 平行于轴的空心圆筒

根据平行轴定理和补偿法[8]，可以先将挖去的部分补起来使之成为一个实心的圆柱体，那么待求部分的转动惯量就等效为补齐后半径为的实心圆柱体对轴的转动惯量减去半径为的圆柱体对轴的转动惯量．其中补齐后半径为的实心圆柱体对轴的转动惯量为

4 结语

转动惯量是刚体转动时物体的一个重要属性．它不仅与刚体的体密度有关，还与刚体的几何形状、体密度的分布及转轴的位置有关．本文利用“微元法”计算了不同情形刚体的转动惯量，并适时的运用了平行轴定理和补偿的方法，计算方法通俗易懂，旨在让学生掌握其方法并体会理解物理学中重要的“微元”思想．

参考文献：

[1] 漆安慎，杜婵英．力学[M]．北京：高等教育出版社，2009：282-286

[2] 马文蔚，周雨青．物理学（上）[M]．6版．北京：高等教育出版社，2014：114-115

[3] 傅美欢．刚体转动惯量的“微元法”教学[J]．南京工业职业技术学院学报，2015，15（4）：64-68

[4] 韩众．几种形状规则刚体转动惯量的计算[J]．山西大同大学学报，2014，30（4）：25-27

[5] 莫杰雄．以常见刚体的转动惯量计算为例谈微元的选择[J]．长春师范学院学报：自然科学版，2010，29（6）：24-26

[6] 张金锋，刘建军，公丕锋，等．基于均质球对称刚体转动惯量的计算[J]．吉林师范大学学报：自然科学版，2016，５（1）：84-156

[7] 张金锋，刘建军，公丕锋，等．基于均质圆柱壳刚体转动惯量的计算[J]．吉林师范大学学报：自然科学版，2016，5（2）：84-86

[8] 赵强，韩春杰．刚体转动惯量的求解讨论[J]．物理通报，2014（5）：19-21

The calculation on rotary inertia for homogeneous cylindrical rigid body

HE Yan，DENG Lei，XIE Yan-ding，LUO Zhi-juan，YU Li

（Department of Basic Courses，Air Early Warning Academy，Wuhan 430019，China）

Starting from the definition of rotary inertia of rigid body，combined with the parallel-axis theorem of rigid body and the compensation method，by choosing different infinitesimal element，the rotary inertia of homogeneous cylindrical rigid body is caculated under the different situation．Not only the infinitesimal method physical idea is emphasized，and using of physical concept and physical theorem is intensified，but also the promote discussion about caculation result is proceeded.

rotary inertia；infinitesimal method；parallel-axis theorem；compensation method

1007-9831（2016）10-0046-03

O313∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.10.013

2016-07-25

何艳（1979-），女，湖北黄冈人，讲师，硕士，从事大学物理研究．E-mail：hy2004_1120@126.com