斜交箱梁剪力滞效应的弹性分析

任荣旭，　卜建清

(1.石家庄铁道大学交通运输学院，河北 石家庄 050043；2.石家庄铁道大学土木工程学院，河北 石家庄 050043)



斜交箱梁剪力滞效应的弹性分析

任荣旭1，卜建清2

(1.石家庄铁道大学交通运输学院，河北 石家庄 050043；2.石家庄铁道大学土木工程学院，河北 石家庄 050043)

斜交箱型梁桥剪力滞效应十分复杂，为在理论求解方面进行完善，通过变分法对其进行弹性求解分析，将斜交箱型梁桥的每项应变能和势能叠加求和，计算得出相应控制方程与自然边界条件，然后运用伽辽金公式对其求出近似解，当斜率无限趋向零时，其结果和直线箱型梁桥的公式相同。计算实例的结果与有限元法结果进行了对比，结果相近，证明该方法能较为准确地反映出斜交箱型梁桥的力学性能。

斜交箱梁；变分法；剪力滞效应

这些年来，斜交箱型梁桥剪力滞理论分析方面取得了很多成果。文献[1]中为计算斜交连续箱型梁桥的剪力滞效应，分析斜交箱型梁桥的受力特点，采用广义协调元和薄膜单元相结合的方式，研究得出了平板壳单元，可以有效解决相关问题；文献[2]中将斜交箱型梁桥在纵向分成几个斜梁段，运用正、斜交坐标之间的转换，得到了如何去描述单元在斜交坐标系上空间位移的办法，得出了板梁段的总势能，通过使势能驻值为零，求解总纲方程，并且编制出了计算机程序PBS，用于斜交桥梁的受力求解；文献[3]建立了单箱四室斜交箱型梁桥的有限元模型，为了分析其剪力滞现象，通过SOLID65单元，建立了有限单元模型，对其做了参数敏感性分析，探讨了正、斜交箱梁剪力滞的差别。目前，由于交通事业的飞速发展，使得斜交箱型梁桥的应用愈加广泛，但是斜交箱型梁桥的剪力滞较正桥更为复杂，同时还要考虑弯曲、扭转和剪滞产生的耦合，很多公式不能直接运用。本文通过利用箱型梁桥剪力滞理论中的纵向位移函数，计入弯、扭和剪力滞共同作用，可得到斜交箱型梁桥的位移函数，同时依据变分法进行剪力滞效应弹性方面的分析，得出斜交箱型梁桥的微分方程和自然边界条件，然后对这些微分方程求出近似解。

1 基于变分法原理的斜交箱梁剪力滞分析

1.1 基本假定

①箱梁翼板在纵向上的位移可以认为是沿横向分布的三次抛物线；②斜交箱梁的纵向正应变和直线箱梁正应变的比值为cos∂(∂为斜度)；③不计入箱梁畸变的影响；④平截面假定同样适用于箱梁腹板位移假设；⑤不计入箱梁翼板竖向纤维之间的作用变形(εy= 0)；⑥箱梁板平面外所产生的剪切变形和横向应变都比较小，予以忽略；⑦在荷载施加到斜交箱型梁桥时，其会一直处于弹性阶段。

1.2 斜交箱型梁桥位移函数

施加竖向荷载的情况下，斜交箱型梁桥会产生竖向弯曲，在扭矩的作用下会产生扭转，同时横向荷载的分布也应该考虑到。箱梁翼板在竖向所产生的位移可表示为：

(1)

式中：f(z)为单元不计入受横向荷载分布影响的竖向位移；r(z)为考虑荷载横向分布的位移差函数。

依据假定①可以得到翘曲位移的函数，受剪力滞效应作用的翘曲位移可表示为：

(2)

式中：W(z)为箱梁翼板在纵向上位移差的函数；bi为翼板净宽的一半；hi为箱梁翼板上计算点的坐标。斜交箱型梁桥的坐标和截面尺寸表示如图1所示。

用φ(z)表示斜交箱型梁桥翼板所产生的扭转位移函数。

图1 斜交箱型梁桥示意图

1.3 斜交箱型梁桥翼板应变

斜交箱梁翼板的弯曲正应变包含两部分，分别是刚性截面在均匀位移下的正应变εz1和在剪力滞翘曲位移下的正应变εz2。

(1)斜交梁桥在考虑受到弯扭耦合作用时的纵向应变εz1：

(3)

(2)斜交梁桥在由于剪力滞计算得到的翘曲位移下的正应变εz2：

(4)

弯曲正应变εz

(5)

1.4 斜交箱型梁桥的总势能

先用能量变分法求得受力时产生的势能以及应变能，求和得到斜交箱型梁桥的弹性总势能表达式：∏=U1+U2+U3+U4+V

(6)

式中：U1为竖向弯曲得出的应变能；U2为由于剪力滞效应翘曲剪切产生的应变能；U3为自由扭转产生的应变能；U4为翘曲扭转所得出的应变能；V为荷载产生的势能；qy为横向荷载；Mx为端弯矩；Qy为端剪力；mz为分布扭矩；Tz为端扭矩；Ix为抗弯惯性矩；kT为抗扭惯性矩；Iw为扇形惯性矩；∂为斜度；Is为翼板惯性矩；E为材料弹性模量；G为材料剪切模量。

1.5 斜交箱型梁桥的控制方程

因为能量变分法原理中应该是 ∂∏=0，在计入斜度变化以及荷载横向分布的影响下，同时考虑弯、扭和剪力滞会产生耦合效应，可以得到斜交箱型梁桥的控制方程以及相应的自然边界条件。

(1)控制微分方程

(7)

(8)

(9)

(2)自然边界条件

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：q(z)y=qy；q(x)y=qy[1-x3/b3]。

当斜度无限趋近于零的时候，就会得出直线箱型梁桥剪力滞效应的弹性微分方程，即：

(15)

1.6 伽辽金法运算求解弹性控制微分方程

伽辽金法是工程上常用的近似求解方法，采用此法求解可假设变形的曲线为：

(16)

式中：l是斜交箱型梁桥的计算跨径；am、bn、ck是常数。先将上述变形曲线求导，然后代入到公式(7)～公式(9)，通过计算且归并am、bn、ck前的系数得：

(17)

解此方程得系数am、bn、ck为：

(18)

(19)

(20)

式中：D1～D5各项系数分别为

考虑剪力滞效应所产生的影响，同时结合计算出的几何方程和物理方程，通过运算可以得到横截面正应力在空间上的分布:

(21)

2 算例分析

文献[4]通过结构计算软件ANSYS，采用三维实体单元，建立了斜交箱型梁桥的有限元模型，分别计算理论解和软件有限元解，将两者进行对比。以某简支斜交箱型梁桥的模型作为例子，其截面见图1，b1=2.5 m，b2=1.9 m，t1=t2=t3=0.3 m，tw=0.6 m，h=1.8 m，弹性模量E=300 MPa，泊松比μ=0.385，斜梁跨度取30 m，斜梁斜度取30°。工况一为集中载荷P=100 kN施加在跨中腹板顶面，工况二为均布荷载Q=10 kN/m施加在全跨腹板顶面，分别计算求解这两个工况，其结果见表1。

表1 集中荷载和均布荷载作用下剪力滞系数λ对比

通过对比表1中数据，可以得到：分别采用本文方法和有限元法计算集中荷载作用和均布荷载作用时的斜交箱型梁桥的剪力滞系数，认为两者的计算结果相差不大，计算结果满足科研和实践的使用要求，验证了本文的计算公式是正确的。在求解相关工程实际问题时，可以直接使用本文公式，不仅准确，而且计算简洁方便。

3 结论

本文对斜交箱型梁桥模型进行剪力滞弹性分析，运用了能量变分法，且考虑了弯剪扭的耦合效应以及荷载沿横向的分布影响，得到了相关的控制方程以及自然边界条件，然后使用伽辽金法运算，求得近似解，得出计算公式。

经计算分析认为：在研究计算斜交箱型梁桥剪力滞的时候，考虑了存在的弯扭耦合效应，并且对斜交箱型梁桥的力学特性进行了准确的表述。将本文方法计算的剪力滞系数与有限元法计算的剪力滞系数进行了对比，验证了本文的分析正确。当斜度趋向于0时，计算结果就是对直线箱型梁桥的剪力滞进行弹性求解后得到的微分方程，所以本文的计算结果同样也可以视作对直线箱型梁桥的剪力滞进行理论分析所取得成果的重要补充。

[1]张元海，李 乔.斜交箱梁桥剪滞效应的有限元分析[J].西南交通大学学报，2005(1)：64-67

[2]盛兴旺，曾庆元.斜交箱梁的板梁段有限元法[J].中国铁道科学，2004(3)：55-60

[3]邓小康，向桂兵.单箱多室斜交箱梁剪力滞效应分析[J].西部交通科技，2011(5)：55-64

[4]杨 津.预应力混凝土斜交箱梁桥剪力滞效应分析[D].石家庄：石家庄铁道大学，2014

An Elastic Analysis of the Lag Effect of the Shear of a Skew Box Girder

REN Rongxu1，BU Jianqing2

(1.College of Traffic and Transportation，Shijiazhuang Tiedao University,Shijiazhuang 050043,China;2.College of Civil Engineering,Shijiazhuang Tiedao University,Shijiazhuang 050043,China)

The lag effect of the shear of a skew box girder is very complex. In order to improve the theoretical solution to it, an elastic analysis of it is made by means of the variational method in the paper. Each item of the strain energy and the potential energy of the skew box girder is superposed and summated, upon the basis of which the elastic differential equation and the boundary conditions are derived,and then the solution equations are obtained in the light of the Calerkin method. When the slop tends infinitesimally to zero,the results are the same as the formula for the lag effect of the shear of a straight box girder. When the calculated results of practical examples are compared with those by the finite element method, it is found that the solutions are in good agreement. Thus, it is proved that the analysis method is able relatively exactly to reflect the mechanical performance of the thin-walled skew box girder.

skew box girder;variational method；effect of shear lag

2015-12-14

河北省自然科学基金(E2013210104)，河北省高校百名创新人才支持计划(Ⅱ)，河北省高层次人才资助项目(A201400213)

任荣旭(1991—)，男，硕士研究生，研究方向为交通运输工程、桥梁工程。1281634252@qq.com

10.13219/j.gjgyat.2016.05.005

U441.5

A

1672-3953(2016)05-0016-04