油藏条件下聚合物溶液老化数学模型新探

李俊键姜汉桥陆祥安赵玉云常元昊王依诚

1.中国石油大学（北京）石油工程教育部重点实验室；2.南京工业大学生物与制药工程学院

油藏条件下聚合物溶液老化数学模型新探

李俊键1姜汉桥1陆祥安2赵玉云1常元昊1王依诚1

1.中国石油大学（北京）石油工程教育部重点实验室；2.南京工业大学生物与制药工程学院

引用格式：李俊键，姜汉桥，陆祥安，赵玉云，常元昊，王依诚.油藏条件下聚合物溶液老化数学模型新探［J］.石油钻采工艺，2016，38（4）：499-503，544.

聚合物老化降解是影响高温油藏中聚合物驱效果的重要因素。利用油藏数值模拟技术评估聚合物老化降解对驱替效果影响的技术关键在于聚合物老化降解数学模型的建立。基于聚合物老化降解的黏度一阶常微分方程建立了油藏条件下的黏度修正模型，给出了油藏条件下聚合物黏度变化的偏微分方程描述形式。结合聚合物质量守恒方程，证明了在黏浓关系是多项式关系的条件下，黏度修正模型是成立的。黏度修正模型揭示了油藏中任意一点聚合物黏度受到聚合物自身降解和流动两方面影响的过程，描述了聚合物老化降解过程中质量浓度不变，黏度降低的物理现象，比目前商业数值模拟器中的黏度模型更加贴近聚合物在多孔介质中流动的物理实际。修正黏度模型的推导与论证为聚合物老化降解的数值模拟研究提供了理论支持。

聚合物驱；聚合物老化；黏度修正模型；油藏数值模拟

聚合物驱油技术是化学驱提高采收率的主要方法之一，已经在许多油田得到了广泛的应用［1-4］。聚合物在多孔介质中的渗流规律及性质变化的研究是聚合物驱技术的关键。研究表明［5-9］，聚合物驱需要考虑聚合物的黏弹性、剪切稳定性、耐盐性和热稳定性（老化）等因素对其驱替效果的影响。针对聚合物性质的研究，众多学者提出了相应的数学模型［10-11］，并在数值模拟技术中实现，为在矿场范围评估聚合物的驱替效果提供了强有力的技术保证。

然而，对于聚合物的老化过程研究还只是处于聚合物的性能评价范畴，在与油藏数值模拟技术结合方面还存在一些问题，主要是因为聚合物在地层中是流动的，对某一特定网格，驱替过程是聚合物溶液不断进行新老交替且互相混合的过程。因此，常规聚合物老化作用测试结果无法应用于油藏数值模拟，主要困难在于无法有效表征聚合物边流动边老化的过程。目前，对这一问题的解决方案主要有3种。一是王敬等［12］提出的聚合物零剪切速率黏度随时间呈指数降低的规律，然而其提出的公式与实际情况不吻合，因为随着时间的增加，聚合物浓度应该趋近于水的浓度，而不是0。二是林春阳等学者提出的等效老化时间模型［13-14］，该模型对解决流动过程中聚合物老化问题提出了新思路，即计算聚合物在流动过程中的等效老化时间，然而这一模型的出发点——老化时间总量守恒很难得到实验的验证。三是Clifford和Sorbie提出的聚合物浓度一阶老化模型，ByungIn Choi 基于浓度的一阶老化模型进行了黏浓关系模型的改进［15］。该模型表征了聚合物老化过程中质量浓度的降低，模型可以很好地嵌入聚合物质量守恒方程中不影响计算，但不能表征聚合物老化过程中质量浓度保持不变、黏度降低的过程。针对以上3种方案存在的问题，笔者提出了聚合物黏度修正模型，用以描述聚合物在油藏条件下的老化过程。在对该模型进行严格的数学论证基础上，将其应用于数值模拟中，通过与Eclipse结果的对比，表明黏度修正模型可以有效模拟计算聚合物在油藏中流动过程中的老化。

1　数学模型Mathematical model

1.1聚合物黏度一阶老化模型

First-order aging model of polymer viscosity

在Clifford和Sorbie提出的聚合物浓度一阶老化模型中，聚合物质量浓度Cp满足如下一阶微分方程［16］

式中，t为聚合物热降解时间，d；kdeg为浓度一阶老化速率常数，d-1；Cp为聚合物质量浓度，mg/g。

基于这一模型得到了一些好的结果，然而考虑到实际的物理意义，聚合物浓度并没有因为老化而发生变化，聚合物黏度才是真正发生变化的物理量，为此，引入聚合物黏度一阶老化公式［16］，即

其中

式中，µ为聚合物溶液的无因次黏度；µp为聚合物溶液黏度，mPa·s；µw为纯水的黏度，mPa·s；λ为热降解系数（老化系数），d-1。

式（2）表明聚合物无因次黏度随着时间的变化速率与聚合物的无因次黏度成正比，其解为

或

其中，µp0=µp（t0）为聚合物溶液在初始时刻的黏度，对应的µ0为聚合物溶液在初始时刻的无因次黏度。式（5）或式（2）反映的是聚合物溶液本身固有的老化规律，即聚合物溶液在静止状态下的老化规律。

1.2流动条件下的修正模型

Correction model at flowing conditions

聚合物驱过程中，对于油藏中任一点而言，周边注入井的注聚时机及相对位置的不同会导致网格中的聚合物由多种不同老化时间的聚合物组成。然而，就这一固定点而言，其聚合物黏度的变化主要受2方面因素影响，一是聚合物本身随着时间固有的老化，二是由于聚合物溶液流动引起的。流动对黏度的影响又包含2项，一是对流作用，二是扩散作用，因此式（2）可以修正为

式中，φ为岩石的有效孔隙度，小数；v为聚合物溶液的流动速度，m/s；Dk为扩散系数，m2/s。

1.3证明与推导

Demonstration and derivation

为了证明其正确性，本文将从数学角度推导公式（6）。对于流动的聚合物溶液满足质量守恒，即聚合物浓度满足下式

将式（3）和式（7）代入式 （6）得

考虑到扩散过程的影响可以忽略，即

并令

因为A是与g和Cp无关的量，最终得到如下常微分方程

易知（11）的解为

换言之，当g（Cp）满足（12）式时，

而g（Cp）可以表示为Cp的多项式，当Cp与Cp0足够接近时，即当聚合物溶液浓度变化不大时（|Cp-Cp0|＜ε，ε为足够小的常数），式（13）成立。

1.4特殊情形的处理

Treatment of special situations

（1）对于稳态流，有

忽略扩散作用的影响，可以得到

在一维情形里，式（15）退化为

即

对于一维微可压缩流体vx是一个常数值，则有

其解为

一般取x0=0，即

该方程描述了考虑聚合物老化作用时，黏度随着空间的分布规律。

（2）对于部分老化降解聚合物，即聚合物黏度不会因老化而完全消失情况，聚合物黏度一阶老化公式变为

其解为

式中，µ∞为聚合物的极限无因次黏度。

如图1所示，拟合4种聚合物在不同条件下的老化实验数据［17-18］发现，聚合物黏度模型可以很好地描述聚合物的老化过程。结合表1，发现4种聚合物老化系数数量级在10-2～10-3范围内。

表1　不同聚合物老化实验数据拟合参数Table 1 Fitting parameters of polymer aging experiment data

2　数值模拟计算结果Calculation results of numerical simulation

2.1商业软件计算结果对比

Comparison on the calculation results of commercial software

建立1注4采的五点井网的典型模型，对比商业软件Eclipse和本文模型计算的聚合物老化结果。图2（a）、（b）、（c）分别为聚驱同一时刻的聚合物质量浓度场、聚合物黏度场、含油饱和度场对比。

图1　不同聚合物老化实验数据拟合Fig.1 Fitting of polymer aging experiment data

Eclipse油藏数值模拟器中聚合物老化降解体现为聚合物质量浓度的损失，其质量浓度损失的数学模型由式（1）所示。将式（1）中的R嵌入聚合物质量守恒方程的时间项，参与质量浓度方程的计算［15］。由于式（1）是描述聚合物质量浓度随时间降低的过程，所以在模拟计算结果中，聚合物的老化降解会使得质量浓度将随时间而降低，进而导致聚合物黏度降低。

对于新建立的聚合物老化降解的黏度模型，描述聚合物老化降解导致的聚合物分子量降低而引起的聚合物黏度损失的过程，在此过程中聚合物的质量浓度并没有因为聚合物的降解而降低。黏度降低模型如式（2）所示，体现在数值模拟中如式（6）所示。

图2（a）显示Eclipse油藏数值模拟器计算的聚合物质量浓度明显要小于黏度模型计算结果。图2 （b）显示了聚合物黏度场计算结果，聚合物质量浓度场的区别引起聚合物黏度场的不同。进而影响到聚合物驱的模拟结果，如图2（c）所示的含油饱和度计算结果。

图2　Eclipse与黏度修正模型计算结果对比Fig.2 Comparison of calculation results between ECLIPSE and viscosity correction model

2.2老化系数敏感性

Sensitivity of aging coefficient

考虑不同老化系数对采出程度的影响。设置老化系数分别为0 d-1、0.005 d-1、0.01 d-1、0.02 d-1。比较驱替到含水98%时的采出程度，分别为56.3%，54.7%，54.3%，53.7%，53%。如图3所示，老化系数越大，聚合物黏度降低越快，其驱替增油效果越差。

3　结论Conclusions

（1）聚合物老化过程中质量浓度保持不变，但其黏度降低。聚合物黏度一阶老化模型可以用来描述黏度变化过程。

图3　不同聚合物老化系数对采出程度的影响Fig.3 Effect of aging coefficient on degree of reserve recovery

（2）流动条件下的黏度修正公式描述了油藏中任一点聚合物黏度受到2方面的影响，一是聚合物自身的老化，二是聚合物的流动。通过严格的数学推导，论证了黏度修正模型的正确性。

（3）黏度修正公式为聚合物老化的数值模拟提供了理论依据。

致谢：特别感谢挪威石油公司，Eivind Smørgrav 和Chen Li对本该课题研究的支持与帮助。

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（修改稿收到日期 2016-06-15）

〔编辑 朱 伟〕

A new mathematical model for polymer solution aging at reservoir conditions

LI Junjian1， JIANG Hanqiao1， LU Xiang’an2， ZHAO Yuyun1， CHANG Yuanhao1， WANG Yicheng1
1. Key Laboratory of Petroleum Engineering Education Ministry， China University of Petroleum （Beijing）， Beijing 102249， China；2. College of biotechnology and Pharmaceutical Engineering， Nanjing Tech University， Nanjing， Jiangsu 211816， China

Polymer aging and degradation is an important factor influencing the effect of polymer flooding in high-temperature oil reservoirs. When the effect of polymer aging and degradation on flooding effect is evaluated by means of reservoir numerical simulation，it is critical to establish the mathematical model for polymer aging and degradation. The viscosity correction model at reservoir conditions was built by using the first-order ordinary differential equation of polymer aging and degradation. Then， the partial differential equation for describing the variation of polymer viscosity at reservoir conditions was presented. Combined with the mass conservation equation of polymer， it is proved that the viscosity correction model is feasible if the viscosity-concentration relation is polynomial. The viscosity correction model reveals the influential process of degradation and flowing of polymer on its viscosity at any point of oil reservoir， and describes the physical phenomenon of viscosity reduction with constant mass concentration in the process of polymer aging and degradation. Compared with the viscosity models used in current commercial numerical simulators， this model can present the physical flowing of polymer in porous media more actually. The derivation and demonstration of viscosity correction model provides the theoretical support for the numerical simulation study of polymer aging and degradation.

polymer flooding； polymer aging； viscosity correction model； reservoir numerical simulation

TE357.46

A

1000 - 7393（ 2016 ） 04- 0499- 05

10.13639/j.odpt.2016.04.018

LI Junjian， JIANG Hanqiao， LU Xiang’an， ZHAO Yuyun， CHANG Yuanhao， WANG Yicheng. A new mathematical model for polymer solution aging at reservoir conditions［J］. Oil Drilling & Production Technology， 2016， 38（4）: 499-503， 544.

国家科技重大专项“海上油田聚合物驱油藏动态监控与评价技术研究”（编号：2011ZX05024-004-07）；国家重点基础研究发展计划（“973”计划）“致密油高效开发油藏工程理论与方法研究”（编号：2015CB250900）。

李俊键（1983-），讲师，主要从事油气藏开发方面的研究。通讯地址：（102249）北京市昌平区府学路18号。电话：010-89732163。E-mail：junjian@petrochina.com.cn