“卫星变轨”中疑难问题突破举隅

□ 江苏省昆山中学 杨传顶

“卫星变轨”中疑难问题突破举隅

□ 江苏省昆山中学 杨传顶

处理卫星变轨中加速还是减速的问题，关键在于会比较卫星在不同位置的速度大小。稳定圆轨道上的速度可直接通过公式比较，而变轨前后瞬间的速度大小，则需要根据其做向心还是离心运动来判断。

卫星变轨向心和离心曲率半径玻尔模型

一、变轨过程

以发射地球同步卫星为例，将其过程简化为图1所示。轨道1为近地圆轨道，轨道2、3分别为同步转移轨道和同步轨道。发射同步卫星时，并非直接使用运载火箭将其运送至轨道3，而是先发射至近地圆轨道1，从轨道1至3也不能直接完成，还需要经过轨道2的过渡，再调整到轨道3，加速或减速的操作只在切点P和Q处短暂进行。对该过程的理解，是正确掌握前文所提问题的基础。

二、变轨原理

假定卫星在轨道1上运行速率为v1，轨道1半径为r1，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，由动力学知识

可知，此时为稳定的匀速圆周运动，若需将轨道调整至轨道2，即在P点处做离心运动，需满足条件

其中r为轨道2在P、Q点处的曲率半径。然后卫星仅在引力作用下，沿椭圆轨道2从P运行至Q，速率减小至vQ，在无任何其他影响下，又将沿轨道2做向心运动回到P点。若需将轨道从2调整至3，则应在Q点处再次执行加速指令，将速率从vQ增加至v3。同理在Q点处满足方程

其中为轨道3的半径。由以上分析可知，在P、Q处需要执行的是加速操作。我们也可通过简单的数学运算，得到Vp＞V1以及V3＞VQ的结论。由能量守恒

由⑥式不难看出r1＜r＜r3，比较①式和②式，可知vp＞v1，比较③式和④式，可得v3＞vQ。该过程的另一意义在于，即使不用复杂数学知识，只通过物理方法，也可以解出椭圆轨道2在P、Q处的曲率半径，这种方法突出体现了数理结合的思想，让学生有耳目一新的感觉，对提高学生的认识水平很有好处。

三、曲率半径

上述计算中使用到了曲率半径的知识，《普通高中课程标准实验教科书物理②必修》（下文简称《必修②》）对该部分知识有如下描述：“运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可以称为一般的曲线运动。尽管这时曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作是圆周运动的一部分。这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。”《必修②》并未提及曲率半径的概念，教授时对此部分内容也几乎一带而过。其实在学习这部分内容时，不妨明确指明曲率半径的概念，这对后续学习将大有裨益，如图2所示，图中的圆周即为曲线分别在A、B点的曲率圆，其半径即为相应的曲率半径。

也可以通过一种比较特殊的、直观的办法来理解曲率半径。图3中两个圆相切于A点，两个圆在A点处的曲率半径分别为两圆的半径，显然外圆半径大于内圆半径。因此，可以得出定性的结论：在切点处，外弧线的曲率半径比内弧线的大。该图对理解和比较曲率半径大小有着积极的意义。

四、能量问题

从能量角度，可以对变轨问题有一个更直观的认识。从低轨道至高轨道，需要发动机对卫星做正功使其加速，做离心运动；从高轨道至低轨道，则需做负功使其减速，从而做向心运动。反之，如果从低轨道至高轨道，对卫星不是做正功，而是做负功，相当于发射卫星时不用火箭推进，这是违背自然常识，违背对能量守恒的基本认知的。

五、四个速度

以上分析过程清晰表明：卫星从低轨道变轨至高轨道，需要执行的是加速操作，而不是减速操作。卫星在高轨道运行速度之所以小于在低轨道上的速度，则是在轨道2上从P点至Q点克服引力做功的原因。根据方程①～④和⑥式可以分别解出 v1≈7.9km/s，vp≈10.4km/s，vQ≈1.6km/s，v3≈3.1km/s，并能直接比较出各个速度的大小。这些计算过程并不复杂，可以留给学生自主完成，既熟悉了公式，又可以加深对原理的理解，还可以拓展知识面，可谓一举多得。

六、轨道渐变和修正

人造卫星绕地球做圆周运动时，卫星运行空间仍然有稀薄大气存在，其运行将会受到阻力的影响，且大气阻力对卫星做负功，这将会导致其轨道半径缓慢减小。当这种改变到了比较明显的程度，影响正常功能发挥的时候，就需要对卫星进行变轨，通过发动机对其做正功，使之升高到原来的轨道。对卫星进行变轨操作时，需要消耗其所携带的燃料，当燃料因各种需要耗尽以后，将无法再对其进行轨道修正与控制，最终变成太空垃圾。

七、与玻尔原子模型类比

人造地球卫星绕地球做圆周运动，与电子绕氢原子核的运动相比，既有相似点，又有不同之处。

1.相似点。卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，电子绕氢原子核运动的向心力则由库仑力提供，二种运动都是在有心力作用下的匀速圆周运动，遵循完全相似的分析方法。由及前述分析过程可知，当电子由内层轨道往外层轨道跃迁时，同样也需要吸收能量，到半径更大的新轨道上时，速度变小。同理，从外层轨道向内层轨道跃迁时，则会放出能量，到半径更小的内层轨道上时，速度变大。

2.不同点。实际问题中更多关注的是二者的相同点，往往忽视了两者之间的不同之处。卫星绕地球运行时，其轨道是连续的，不会发生突变，而在玻尔原子模型中，电子的轨道却是定态的，不连续的，从一个轨道跃迁至另一轨道，会发生能级的突变。当然这是经典理论与量子理论的区别，这里仅仅提出该问题，以引起教学上的重视，并不做重点讨论。