球形靶标中心成像点的高精度定位

刘书桂，宋宣晓，韩振华

(天津大学 精密测试技术及仪器国家重点实验室，天津 300072)



球形靶标中心成像点的高精度定位

刘书桂*，宋宣晓，韩振华

(天津大学 精密测试技术及仪器国家重点实验室，天津 300072)

为提高球形靶标中心在像平面上成像点的定位精度，研究了球形靶标成像理论及球心成像点定位方法。建立了空间球在摄像机系统下的投影模型，结合空间解析几何理论，证明了球形靶标的透视投影特性。推导出了球心成像点坐标的精确表达式，并结合测量实际给提出了球心成像点的高精度定位方法。利用仿真实验建立了球心投影畸变误差模型并分析了相关影响因素。最后, 结合陶瓷标准球进行了视觉系统位姿参数标定实验。结果表明，该定位方法求得的空间球球心重投影误差比传统的球心成像坐标定位方法产生的重投影误差平均减少了36%，位姿参数稳定性相对提高了40%。得到的结果验证了该球形靶标中心成像点定位方法精度高，鲁棒性强，可应用于基于球形靶标的视觉标定或测量中。

球形靶标；视觉测量；球心成像定位；透视变换；相机标定

*Correspondingauthor,E-mail:sgliu@tju.edu.cn

1　引　言

随着现代化测量技术的不断发展，基于机器视觉的测量应用越来越广，这得益于其精度好、非接触、效率高等优点[1]。在利用视觉系统进行高精度测量之前，必须精确地标定相机参数，因为标定精度直接影响系统的测量精度。球形靶标由于轮廓连续性好、对拍摄角度要求低、能适应一定的遮挡[2]以及视觉测量特性良好，所以常常用来标定视觉系统参数[3-5]。

文献[3]提出一种基于三坐标测量机(CMM)和标准球的相机内参标定法，通过将球靶标放在CMM测量平台上，相机由CMM测量臂带动进行精准位移并摄取球图像完成标定。在相机外参数即相机坐标系和其他坐标系的位姿转换关系标定中，球靶标也有着广泛应用，例如在多相机系统标定中，相机光轴间常常存在一定夹角[6]，利用球作为标定靶标，可以弥补平面靶标在标定中由于摆放位置或姿态导致的成像特征点提取性较差、定位精度低的缺陷，提升相机间位姿关系的标定精度。此外，在智能防碰撞CMM系统[7-8]中，球形靶标可用于标定相机坐标系和CMM坐标系之间的旋转平移关系，通过拍摄若干幅CMM坐标系下精确定位的球并提取其中心像点位置，然后基于透视变换模型即可求得两坐标系之间的变换关系。

在利用球形靶标进行视觉标定和测量的应用中，球形靶标中心成像点的定位精度将直接影响系统的标定精度和测量精度。空间球在摄像系统中成像，只有当球心位于光轴上时，投影图像为标准圆，其他情况下为椭圆[9]，并且椭圆几何中心点和球心投影点并不重合，将这个偏差定义为球心投影畸变误差。然而大多数应用中，往往将空间球投影成像的椭圆中心作为球心的投影点[3-5,8]，忽略了球心投影畸变误差，这会给系统的精度造成一定的影响。文献[10]针对这种球心投影定位误差提出了一种补偿模型，该模型是针对理想误差模型的一种近似，模型参数求解时需要提前拍摄至少6个空间位置已知的球，除此之外还要求球半径与球心到光心的距离比值在一定范围内，否则模型失效。这种方法不仅复杂、适用性差，而且精度不高。

本文通过建立空间球在摄像系统中的投影模型，结合空间解析几何相关理论，推导出球形靶标在像面上投影特性的一般性结论，提出了一种球心成像点高精度定位方法。该方法仅根据球形靶标图像的边缘信息，便可精确求出球心成像点坐标。对球心投影畸变误差模型及其影响因素进行了仿真分析，然后结合陶瓷标准球进行了视觉系统位姿参数标定实验。实验结果验证了该定位方法的可行性和正确性。

2　球形靶标成像模型

本文基于针孔成像原理建立了空间球在摄像系统中的投影模型，如图1所示。O-XYZ为摄像机坐标系，原点O为摄像机光心，OZ为光轴，XUOUYU为像平面，记为π，原点OU为光轴与像平面π的交点，X、Y轴分别平行于像平面的横轴XU和纵轴YU。空间球球心记为S0，根据球的空间旋转对称性，可推知球面与摄像机中心形成的射线锥面O-C1是一个正圆锥面，准线C1是射线锥与球面形成的切线圆。空间球的图像可视为圆C1在像面上的投影。此外，圆C1所在平面与过摄像机中心O和球心S0的直线垂直，即OS0⊥C1。O1为圆C1的圆心，O11为O1在面XOY上的投影点。空间球在像平面的成像轮廓为C2，形心为O2，球心S0在像平面的投影点为S2。当球心S0位于光轴上时，C2为标准圆，O2和S2重合；其他情况下，C2为椭圆，O2和S2不重合。

图1　空间球成像模型Fig.1　Imaging model of spherical target

设过球心S0和光轴OZ组成的面为π1，则平面π1是圆锥O-C1的一个轴截面，如图2所示，ON为该截面内原点到球面的切线，由于O1在直线OS0上，所以OO11所在直线为轴截面π1的横轴。S0N表示空间球S0的半径，O1N表示圆C1的半径，由图2可知，球心S0并不位于截面圆C1所在平面。

图2　过光轴的圆锥轴截面π1Fig.2　Tapered shaft section plane π1 through optical axis

根据上述成像模型，并结合空间解析几何理论，归纳出空间球在摄像系统中成像的一般性定理，表述如下：

定理：位于摄像机视场范围内任意位置的空间球，在像平面上的投影为一椭圆，且满足以下特征：(1)椭圆长轴所在直线通过像面中心；(2)空间球中心成像点位于椭圆长轴线段上。

证明：已知空间球球心S0坐标为(xs0,ys0,zs0)，半径R0=|S0N|，摄像系统焦距|OOU|=f。设圆C1的圆心O1坐标为(x0,y0,z0)，半径为|O1N|=R，|OS0|=L0，|OO1|=L，圆C1所在平面的单位法向量为(m,n,p)，投影圆锥半顶角为α，OS0与面XOY的夹角为φ，如图2所示。根据几何关系，则有：

论证时只考虑m2+n2≠0，φ∈(0,π/2),即球心不在光轴上的情况，因为球心在光轴上时，定理显然成立。

设圆C1的空间方程为FC1(x1,y1,z1)=0，则有：

(1)

锥面O-C1可表示为：

(2)

将z=f与式(2)联立化简可得空间球的投影曲线C2：

FC2(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 ，

其中：

(3)

故C2为二次曲线。根据空间解析几何理论，C2可为椭圆、圆、双曲线或抛物线等，由于空间球的投影图像应满足轮廓连续的条件，因此，C2为椭圆或圆，又m2+n2≠0，结合式(3)知a11=a22和a12=0不可能同时成立，即C2不是圆，所以C2为椭圆。

然后证明C2为一长轴所在直线过原点的特征椭圆。这种特征椭圆是由一个长轴位于轴上的椭圆绕原点旋转某一角度得到的。如图3所示，像平面π内，椭圆C由椭圆C0旋转θ得到，θ记为转向角且θ∈(-π,π]，逆时针为正。设C0半长轴为a，半短轴为b，中心为(d,0)，且d>0，记为偏心距。将C0绕原点旋转θ，结合坐标系旋转变换关系，可得椭圆C方程为：

(4)

图3　长轴所在直线过原点的椭圆Fig.3　Ellipse with major axis through origin

令椭圆C的参数为：

(5)

将式(5)代入式(4)可得：

F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 ，

其中：

(6)

比较椭圆参数式(3)和式(6)可知，它们只差一个系数k。若k≠0，则说明C2为一长轴所在直线过原点的特征椭圆。

综上所述，空间球像面投影为一长轴所在直线经过像面中心的椭圆，长轴所在直线为y=xtanθ，由式(5)可知θ=arctan (n/m)。当像面中心点位于成像椭圆内时，则它位于长轴线段上；当像面中心点位于成像椭圆外时，则它位于椭圆长轴的延长线上。

球心S0的空间坐标为(xS0,yS0,zS0)，设其投影点S2坐标为(xS2,yS2,f)，根据投影关系有：

由于球心投影点肯定在椭圆内，所以S2位于椭圆C2的长轴线段上。

证毕。

3　球形靶标中心成像点定位

上节得到的球形靶标成像特性对球心成像点定位算法具有指导意义。基于上述定理的定位思路为：首先对球形靶标成像边缘点进行长轴所在直线过原点的特征椭圆拟合，得到特征参数(a,b,θ,d)；然后根据这些参数并结合透视投影几何模型，求出位于长轴线段上的球心成像点位置。

如图1所示，O11为O1在面XOY上的投影点，则有∠XOO11=θ，说明椭圆C2的长轴在平面π1内。设长轴两端点分别为P，Q，由上文知球心投影点S2位于长轴线段PQ上，如图4所示，其中O2是椭圆C2的形心，线段PQ的中点。

若特征椭圆参数：半长轴|PO2|=|QO2|=a、转向角θ、偏心距|OUO2|=d均已求得，设原点OU到S2的距离|OUS2|=l，因为OS2是∠POQ的角平分线，则有：

(7)

由于球心投影点S2位于直线y=xtanθ上，所以其坐标为：

(8)

式(7)和式(8)即为球形靶标中心投影点坐标的理论表达式。

图4　球心投影点和椭圆形心的位置关系Fig.4　Position relationship between projection point of sphere center and center of projection ellipse

由于特征椭圆参数的求解需要椭圆的轮廓信息，所以靶标图像边缘提取精度直接影响到球心成像点的定位精度，因此高精度的边缘提取至关重要。一般用于视觉系统标定的球靶标常常选取面型精度较高的陶瓷标准球，如图5所示。

图5　陶瓷标准球Fig.5　Ceramic standard ball

根据光学系统的成像特性，球形靶标成像椭圆边缘灰度值变化理论上服从高斯分布[11]，所以采用高斯插值思想提取椭圆边缘信息。首先进行像素级边缘定位，利用Canny算法对目标椭圆进行边缘检测，然后用轮廓跟踪法将边缘信息提取出来。然后进行亚像素提取，对Canny算法提取的像素级边缘点及其沿梯度方向的邻近点进行灰度值的高斯曲线拟合，求出亚像素级边缘坐标，并进行曲率滤波[12]，剔除边缘噪声点，进而实现椭圆边缘的高精度定位。图像边缘定位结果如图6所示。

图6　球形靶标图像边缘定位Fig.6　Edge positioning of spherical target image

综上所述，球形靶标中心成像点定位方法的步骤如下：

(1)处理图像，基于高斯插值算法提取椭圆边缘亚像素坐标，并进行相机畸变补偿；

(2)根据边缘坐标拟合长轴所在直线过原点的特征椭圆，标准方程为式(4)，采用基于广义逆的最小二乘算法求解特征椭圆参数(a,b,θ,d)；

(3)结合相机焦距f，代入式(7)和式(8)求解球心投影的精确坐标值。

4　球心投影畸变误差仿真

由于空间球与摄像机光心组成的空间曲面是一个正圆锥，其投影图像可视为该正圆锥内任意位置内切球的图像，所以正圆锥的形状参数半顶角α是影响球心投影畸变误差的一个重要参数。由上节可知，半顶角α=arcsin(R0/L0)，其大小由空间球的半径和它到相机的距离决定，此外，空间球相对摄像机的视场位置也会影响球心投影畸变误差。

基于针孔成像模型，分别仿真半径为10，20 mm的球在距离相机1 mm处平面内，以及半径为20 mm球在距相机1.5 m处平面内时，球心投影畸变误差的情况。相机焦距f设为8 mm，仿真结果如图7所示，x轴和y轴代表球所处的视场位置，横纵视场角在[-π/4,π/4]，z轴代表畸变。可以看出，仿真条件下球心投影畸变误差平均能达到μm级，与目前常用图像传感器的像元尺寸是同一个数量级，所以要实现精准测量和标定，球心投影畸变误差不可忽视。

通过比较图7(a),7(b)和7(c)可知：

(1)当空间球大小和其与相机的距离固定时，球心投影畸变大小与其所处视场角有关，视场角越大，畸变越大；

(2)当空间球与相机距离及所处视场角一定时，球的半径越大，球心投影畸变越大；

(3)当空间球尺寸及所处视场角一定时，球与相机的距离越小，球心投影畸变越大。

根据上述仿真结果，并结合基于球形靶标的测量和标定，可以得到以下结论：(1)测量或标定过程中，应当尽量减小空间球所处的视场角，一方面是由于视场角较小时，球形畸变误差本身会比较小； 另一方面， 相机镜头在小视场处的畸变较小，有助于提高精度。(2)虽然减小球半径和增大球到相机的距离会减小球心投影畸变误差，但同时会造成空间球在像面上的投影范围过小，参与成像的有效像元数较少，图像边缘信息受噪声影响相对较大，球心投影点定位精度也将受到影响。所以当系统精度要求较高，需要对球形靶标中心投影误差进行精确补偿时，除了要尽量减小视场角外，还可以在不影响测量的条件下适当增大球半径或减小球到相机的距离，使空间球在像面上的投影范围增大，获得丰富的图像信息，以便于椭圆边缘的准确提取及球心投影点的精确定位。

(a)空间球半径为10 mm，距离相机1 m(a) Sphere radius of 10 mm and distance to camera of 1 m

(b)空间球半径为20 mm，距离相机1 m(b) Sphere radius of 20 mm and distance to camera of 1 m

(c)空间球半径为20 mm，距离相机1.5 m(c) Sphere radius of 20 mm and distance to camera of 1.5 m图7　球心投影畸变误差仿真Fig.7　Simulation of projection distortion error of sphere center

5　实　验

为验证本文球心投影定位方法的效果，进行了相机和三坐标测量机位姿关系的标定实验，标定系统示意图如图8所示。相机采用德国Ximea的MQ013MG-E2，分别率为1 280×1 024，镜头型号为VTS0614-M，标称焦距为6 mm，相机内参提前完成标定[14]；CMM平台是海克斯康公司的Global classic SR07-10-07，测量范围为700 mm×1000 mm×660 mm；靶标球采用的是直径为25 mm的RENISHAW陶瓷标准球，直径变动量小于0.5 μm。

图8　相机和三坐标测量机位姿关系标定系统示意图Fig.8　Schematic diagram of calibration system for altitude relation between camera and CMM

首先，调整相机位姿使CMM工作区位于相机视场内，然后把标准球依次摆放于CMM平台上10个位置，使其均布于相机视场内，并用CMM对每个位置下的球心坐标(xMi,yMi,zMi)(i=1,2,…,10)进行精确的定位测量，同时拍摄各个位置下球靶标的图像，提取球心在像面的投影点坐标(xUi,yUi)(i=1,2,…,10)。

设相机和CMM坐标系之间的旋转平移矩阵分别为R、T，球心在相机坐标系下的坐标为(xci,yci,zci)，则有:

(9)

其中:(α,β,γ)为旋转角，(tx,ty,tz)为平移量。式(9)可表述为，以右手螺旋方向为正旋转CMM坐标系，先绕x轴旋转角度α，再绕y轴旋转角度β，最后绕z轴旋转角度γ，再沿当前坐标系平移(-tx,-ty,-tz)，此时CMM坐标系与相机坐标系重合。由于：

(10)

其中f为相机焦距。联立式(9)和式(10)，基于广义逆的最小二乘算法可求得相机坐标系和CMM坐标系之间的旋转平移关系[R|T]=(α,β,γ,tx,ty,tz)，完成标定。

5.1定位方法精度实验

保持CMM工作平台位于相机视场内，依次调整相机位姿重复10组标定实验，分别利用传统方法(忽略球心投影畸变误差)和本文方法定位球心投影点坐标，参与求解相机和CMM之间的位姿关系。

根据标定出的位姿关系，可求解出各标准球球心依次在相机坐标系下的坐标：

定义标准球球心在像面上的重投影误差为：

计算球心重投影误差FRT，实验结果如图9所示。

图9　球心重投影误差Fig.9　Re-projection error of sphere center

从图9可以看出，本文的球心成像点定位方法要比传统定位方法的重投影误差小。经计算，基于传统定位方法求出的平均重投影误差为0.916 μm，基于本文方法求出的平均重投影误差为0.585 μm，平均误差减少了36%左右。

实际上，FRT大小同时反映了两坐标系之间位姿关系求解的精度高低，FRT越小，位姿参数求解精度越高。上述实验验证了在相同测量条件下，本文定位方法的精度明显优于传统方法。

5.2定位方法重复性实验

保持相机位姿固定，即其与CMM坐标系的旋转平移关系保持不变，重复10组标定实验，组与组之间保证球的位置随机分布。然后，分别采用本文方法和传统方法求解相机和CMM坐标系之间的位姿关系，并求取10组[R|T]=(α,β,γ,tx,ty,tz)各个参数的标准差(σα,σβ,σγ,σtx,σty,σtz)。定义位姿参数稳定性为：

标定实验结果如表1所示。

表1　本文方法RT标定结果

表2　传统方法RT标定结果

根据表1数据并结合上述稳定性指标的定义计算得出，本文定位方法RT参数稳定性为(1.768×10-7rad,0.317 mm)，传统定位方法RT参数稳定性为(2.893×10-7rad,0.501 mm)。对比两组数据，相同测量条件下，本文方法求解出的旋转参数和平移参数稳定性较传统方法均大约提升了40%，由此表明该定位方法的鲁棒性较强。

6　结　论

本文建立了球形靶标在摄像机系统下的透视投影模型，结合空间解析几何理论，证明了空间球像面投影为一长轴所在直线过图像中心的特征椭圆，并且球心投影点位于长轴上；推导出球心投影点坐标的计算公式，然后结合测量实际提出球形靶标中心成像点的高精度定位方法；仿真分析了球心投影畸变误差的影响因素；最后进行了相机坐标系与CMM坐标系之间的位姿关系标定实验。实验结果表明，相同测量条件下，与传统球心投影点定位方法相比，本文方法的球心重投影平均误差减少了36%，位姿参数稳定性提高了40%。该定位方法具有精度高、鲁棒性强的优点。

本文提出的定位方法消除了球心投影畸变误差的影响，与现有的畸变误差补偿方法相比，克服了模型建立复杂、适用性差、精度低的缺点，可广泛应用于存在球形靶标中心投影点定位问题的视觉测量中。不过需要说明的是，虽然该定位方法在理论上不存在误差，但实际应用中球心成像点的定位精度还会受图像质量和摄像系统参数精度的影响，所以要进一步提高精度，还需考虑多方面因素并进行综合优化。

[1]张业鹏,何涛,文昌俊,等.机器视觉在工业测量中的应用与研究[J].光学 精密工程,2001,9(4):324-329.

ZHANG Y P, HE T, WEN CH J,etal.. Applications and research of machine vision in industrial measurement [J].Opt.PrecisionEng.,2001,9(4):324-329.(in Chinese)

[2]赵云涛,孙军华,陈勖,等.基于球几何特征的摄像机内参分步标定方法[J].北京航空航天大学学报,2014, 40(4):558-563.

ZHAO Y T, SUN J H, CHEN X,etal.. Camera calibration from geometric feature of spheres[J].JournalofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics,2014, 40(4):558-563.(in Chinese)

[3]黄风山,钱惠芬.三坐标测量机驱动的摄像机标定技术[J].光学 精密工程,2010,18(4):952-957.

HUANG F SH, QIAN H F. Camera calibration technology driven by three-coordinate measuring machine [J].Opt.PrecisionEng., 2010,18(4):952-957. (in Chinese)

[4]SHEN E,HORNSEY R. Multi-camera network calibration with a non-planar target[J].IEEESensorsJournal,2011,1(10):2356-2364.

[5]ZHANG H,WONG K Y,ZHANG G. Camera calibration from images of spheres[J].PatternAnalysis&MachineIntelligenceIEEETransactionson, 2007,29(3):499-503.

[6]肖志涛,张文寅,耿磊,等.双目视觉系统测量精度分析[J].光电工程, 2014(2):6-11.

XIAO ZH T, ZHANG W Y, GENG L,etal.. Accuracy analysis of binocular vision system[J].Opto-ElectronicEngineering,2014(2):6-11.(in Chinese)

[7]刘书桂, 余飞，韩振华. 基于OpenCasCade的虚拟三坐标测量机碰撞检测[J].纳米技术与精密工程，2016：10.13494/j.npe.20150133.

LIU SH G, YU F, HAN ZH H. Collision detection of virtual coordinate measuring machine based on OpenCasCade [J].NanotechnologyandPrecisionEngineering,2016：10.13494/j.npe.20150133.(in Chinese)

[8]赵英剑,王建利,马新辉,等.三坐标测量机智能技术[J].计量学报,2001,22(3):164-167.ZHAO Y J, WANG J L, MA X H,etal.. Coordinate measuring machine intelligence technology[J].ActaMetrologicaSinica, 2001,22(3):164-167. (in Chinese)

[9]魏振忠,张广军.透视投影变换中椭圆中心畸变误差模型及其仿真研究[J].仪器仪表学报,2003,24(2):160-164.

WEI ZH ZH, ZHANG G J. A distortion error model of the perspective projection of ellipse center and its simulation[J].ChineseJournalofScientificInstrument,2003,24(2):160-164. (in Chinese)

[10]谷飞飞,赵宏,卜鹏辉,等.用于相机标定的球靶标投影误差分析与校正[J].光学学报,2012(12):209-215.

GU F F, ZHAO H, BU P H,etal.. Analysis and correction of projection error of camera calibration ball[J].ActaOpticaSinica, 2012(12):209-215. (in Chinese)

[11]刘勇,王卫华,李志刚,等.基于亚像素边缘检测的PCR芯片参数测量系统[J].仪表技术与传感器, 2014(2):65-67.

LIU Y, WANG W H, LI ZH G,etal.. Parameter measurement system of PCR chip based on sub-pixel edge detection[J].InstrumentTechniqueandSensor, 2014(2):65-67. (in Chinese)

[12]张虎,达飞鹏,邢德奎.光学测量中椭圆圆心定位算法研究[J].应用光学,2008, 29(6):905-911.

ZHANG H, DA F P, XING D K. Algorithm of center location of ellipse in optical measurement[J].JournalofAppliedOptic,2008, 29(6):905-911. (in Chinese)

[13]刘书桂, 姜珍珠, 董英华,等. 采用移动光靶标的分区域相机标定[J].光学 精密工程, 2014, 22(2):259-265.

LIU SH G, JIANG ZH ZH, DONG Y H,etal.. Self-calibration of probe tip center for 3D vision coordinate measuring system in portable light pen[J].Opt.PrecisionEng., 2014, 22(2):259-265. (in Chinese)

刘书桂(1954-)，男，湖南华容人，教授，博士生导师，1982年于陕西机械学院获得学士学位，1988年于日本东京工业大学获得博士学位，主要从事智能坐标测量、自动测量与控制、传感与信息处理等方面的研究。E-mail: sgliu@tju.edu.cn

宋宣晓(1992-)，男，河南新乡人，硕士研究生，2014年于长春理工大学获得学士学位，主要从事机器视觉、大尺寸坐标测量方面的研究。E-mail: songxuanxiao@tju.edu.cn

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High-precision positioning of projected point of spherical target center

LIU Shu-gui*, SONG Xuan-xiao, HAN Zhen-hua

(StateKeyLaboratoryofPrecisionMeasuringTechnology&Instruments,TianjinUniversity,Tianjin300072,China)

To improve the positioning precision of the projected point for a spherical target center, the imaging theory of spherical target and positioning method of the spherical target center were investigated. By establishing the imaging model of spherical target and combining spatial analytic geometry theory, the perspective projection properties of spherical target were verified and an exact expression for the position of projection point of sphere center was deduced. Finally, by combining with an actual measurement, the precision positioning method for the projected point of spherical target center was given. Furthermore, an error model for projected spherical central distortion was established on the basis of the simulation experiment, and corresponding effect factors were analyzed. With the use of a ceramic standard ball, calibration experiments of the pose parameters of a vision system were implemented. It shows that the re-projected error of the spherical target center from the proposed method has less 36% averagely than that of the traditional method, and the stability of the pose parameters is increased by 40% relatively. These results verify that the proposed positioning method for the projected point of spherical target center has high precision and robustness, and it can be widely used in visual calibration or measurement based on spherical targets.

spherical target; visual measurement; positioning of spherical center projection; perspective transformation; camera calibration

2016-04-27；

2016-06-14.

天津市自然科学基金重点项目(No.13JCZDJC34500)；国防科工局技术基础渠道科研项目(No.JSJL2014206B001)

1004-924X(2016)08-1861-10

TP391；TP242.6

A

10.3788/OPE.20162408.1861