选择合适的方法解一元二次方程

朱雪梅

干什么事都有诀窍，解一元二次方程也是如此.一元二次方程有四种基本解法：直接开平方法，配方法，求根公式法，因式分解法.在解一元二次方程时，我们应当仔细观察方程的形式和系数特点，选择适当的方法，力求解题过程简洁、明快.

一、 适合用直接开平方法求解的方程

例1 用直接开平方法解下列方程.

（1） x2-4=0；（2） （x+3）2-2=0；（3） 4（x-2）2=9（x+3）2.

【分析】（1） 将方程化为x2=4，然后两边直接开平方；（2） 将（x+3）2-2=0化为（x+3）2=2的形式，然后两边直接开平方；（3） 把（x-2）和（x+3）分别作为一个整体，然后考虑使用直接开平方法.

解：（1） 移项，得x2=4.

因为x是4的平方根，所以x=±2，

即x1=2，x2=-2.

（2） 移项，得（x+3）2=2.

两边直接开平方，得x+3=±.

所以x+3=，x+3=-，

即x1=-3，x2=--3.

（3） 根据平方的性质有：2（x-2）=3（x+3）或2（x-2）=-3（x+3），

即：x1=-13，x2=-1，

【点评】形如x2=b、（x-a）2=b、（x-a）2=（x-b）2的方程适合用直接开平方法来求解.

二、 什么时候选用配方法解一元二次方程

例2 （1） x2-4x=396；（2） 3x2-2x-3=0.

【分析】利用配方法解一元二次方程的步骤：

（1） 把方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；

（2） 把二次项系数化为1；

（3） 方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式，右边是常数；

（4） 如果方程的右边是一个非负数，就用直接开平方法求出它的解；如果方程的右边是一个负数，那么这个方程无解.

解：（1） ∵x2-4x=396，

∴x2-4x+4=400，

∴（x-2）2=400，

∴x-2=±20，

∴x1=-18，x2=22；

（2） 把二次项系数化为1，得x2-x-1=0，

移项，得x2-x=1，

配方，得x2-x+=1+，即x

-2=，

两边开平方，得x-=或x-=

-，

解得：x1=，x2=.

【点评】对比这两个方程可以发现，第一个方程用配方法方便些，第二个方程较繁琐，对于具备形如完全平方式的雏形的方程用配方法比较方便.

三、 因式分解解哪类一元二次方程更便捷

例3 解方程：（1） （4x+2）2=x（2x+1）；

（2） x2-（3+）x+=0.

解：（1） ∵（4x+2）2=x（2x+1），

∴4（2x+1）2-x（2x+1）=0，

∴（2x+1）（7x+4）=0，

∴2x+1=0或7x+4=0，

∴x1=-，x2=-；

（2） ∵x2-（3+）x+=0，

∴（x-3）（x-）=0，

∴x-3=0或x-=0，

∴x1=3，x2=.

【点评】这两个方程显然用因式分解法比较简便，为什么呢？因为这两个方程有一个共同的特征，能通过移项将方程右边化为0，而左边可通过因式分解化成乘积的形式.常见的适合因式分解法的方程的基本形式有x2-a2=0、x2+bx=0、x2-（a+b）x+ab=0.

四、 公式法是把“万能钥匙”，它对任何形式的一元二次方程都适用

例4 2x2-x-1=0.

解：a=2，b=-，c=-1，

∵b2-4ac=3+8=11，

∴x1=，x2=.

【点评】运用公式法解一元二次方程的时候，只需找准方程的a、b、c的值，即先把方程化为一般形式.公式法可以求任何形式的一元二次方程的解，不过由于公式法的运算量较大，因此如果能使用其它方法，尽可能选用其它方法来解.但如果方程已经化成一般形式，则选用公式法较为简便.

那么选择合适的方法来解一元二次方程的考虑方式如何呢？

（1） 如果题目适合使用直接开平方法解方程，那就直接使用开平方法解方程；

（2） 能使用因式分解方法求解的一元二次方程，就不要使用公式法解决；

（3） 不易使用因式分解法解的方程，且方程中的系数绝对值较大时，考虑使用配方法解方程；

（4） 公式法是解决一元二次方程的通用方法，当其它方法都不易解决时，考虑使用公式法解题. （作者单位：江苏省南通市越江中学）