三大利斧突破动态立体几何

湖北省襄阳市襄州一中 庄慧勤



三大利斧突破动态立体几何

湖北省襄阳市襄州一中 庄慧勤

近几年，高考数学试卷出现动态立体几何问题，这类试题新颖别致，构思精妙，使立体几何“活”了起来，使立体几何的题意更新颖、题目更灵活、考查更全面、思维更广阔，给人耳目一新的感觉，加强了对学生空间想象能力的考查。解决立体几何“动态”型问题时，一些学生思路不畅通。一些学生不能认识“动”的本质，不会利用数学思想解决立体几何里的动静矛盾。本文利用数学思想探寻“动态”型问题的切入点和解决策略。

高考 数学 立体几何

一、转化与化归

转化与化归思想是在研究和解决有关数学问题时采用的某种手段，是人们将问题通过变换使之转化划归为已有知识范围内可以解决的一种方法、策略。这种方法可以将复杂问题转化为简单问题、将较难问题转化为容易求解问题，将未解决问题转化为已经解决问题。转化与化归思想也是数学思想方法的核心。

例1：如图，在三棱锥中P—ABC，PA=PB=PC=AC=4，

（1）求证：平面ABC⊥平面APC ；

（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

（3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M—PA—C的余弦值为，求BM的最小值。

解析：（1）略；（2）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。由已知得所以设平面PBC的法向量由得方程组取因为所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

例2：如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1。

（1）求证：AB⊥BC；

（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1—BC—A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明。

解析：（1）略 ；（2） 由（1）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设则。

设平面A1BC的法向量为，则由得可取于是与n的夹角β为锐角，则β与θ互为余角。因为---→---→，所以。于是由c＜b，得，即sinθ＜sinφ，又，所以 θ〈φ。

二、函数思想

函数思想是人们用列函数关系式的方法或用函数相关知识通过建模解决实际问题与几何问题，即用函数解题。动态立体几何求最值和范围问题时常常构造函数，可以利用函数相关知识解决几何问题。

例3：直三棱柱（侧棱垂直底面）ABC—A1B1C1中，AB= AC=1，∠BAC=90°。

（1）若异面直线A1B与B1C1所成的角为60°，求棱柱的高；

（2）设D是BB1的中点，DC1与平面A1BC1所成的角为θ ，当棱柱的高变化时，求sinθ的最大值.

解析：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AA1=h（h ＞0），则有B（1，0，0）、B1（1，0，h）、C1（0，1，h）、A1（0，0，h），、

（1）当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；

解析：（1）如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB、OA所在的直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系则。设为平面COD的一个法向量，由得

二面角C—OD—B的余弦值的取值范围为［-α，0］。

三、方程思想

解决数学问题时，对一些形式上非方程的问题，学生可以通过一定的数学变换或构造，使非方程问题转化为方程（组）的形式，运用方程（组）的有关性质处理这一问题，进而使原数学问题得到解决，这一思想方法称为“方程的思想”。 动态立体几何探求存在性问题时常常构造方程，利用方程相关知识解决几何问题。

例5：如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，∠CDA =45°。

（1）求证：平面PAB⊥平面PAD；

（2）设AB=AP。①若直线PB与平面PCD所成的角为 ，求线段AB的长；②在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等？说明理由。

解析：（1）略。（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A—xyz在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E，则CE⊥AD。在Rt△CDE中，DE=CD·cos45°=1，CE= CD ·sin45°=1，设AB=AP=t，则B（t，0，0）、P（0，0，t）。由AB+AD=4，得AD=4-t，所以E（0，3-t，0）、C（1， 3-t，0）、D（0，4-t，0）、

取x=t，得平面PCD的一个法向量n=（t，t，4-t），又故直线PB与平面PCD所成的角为-→ 30°，得，即。解得或t=4（舍去，因为AD=4-t＞0），所以

②假设在线段AD上存在一个点G，使点G到点P、B、C、 D的距离都相等，设则由消去t，化简得此方程没有实数根，所以线段AD上不存在一个点G使点G到点P、C、D的距离相等。从而，线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等。

例6：已知几何体A—BCED的三视图，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形。

（1）求此几何体的体积V的大小；

（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由。

（3）以C为原点，以CA、CB、CE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系。

3.高校思想政治教育推行对话式教育。当前，部分高校思想政治教育的主要模式是“灌输式”讲授，教师和学生之间处于不平等状态，学生没有表达真实意愿的机会。“宽容”呼唤对话式的教育模式，即学生和教师以相互尊重、相互信任、相互理解为基础，以寻求真知、创造意义和建构完满的精神世界为目标，教育主体之间进行平等交流、相互沟通的过程。 对话式的教育模式可以在思想政治课堂上推行，可以通过讲座、交流会、见面会、辩论会等方式展开。例如，笔者所在学校定期召开“宽容”论坛，邀请校内外专家学者与学生共同探讨“宽容”话题；定期召开“宽容与构建和谐社会”学术研讨会，邀请学术界知名学者交流探讨，推动“宽容”为本的校园精神；在校园网设立校长信箱，定期召开校长见面会，校长与学生近距离接触、平等对话。学生在对话式的教学过程中，享有话语权，体验思想的碰撞，充分体验自己的观点和选择被尊重、被接纳，从而增强自我价值感，提升自信度，从而对高校培养自主性、创新性人才有重要意义。

4.高校思想政治教育中倡导发展性学生评价。高校思想政治教育中的“宽容”要求教师以生成性的思维教育学生，不赞同以表现好坏、成绩高低、品德优劣等简单模式评价学生。教师要正视和照顾学生的差异性。“宽容”倡导高校思想政治教育运用发展型学生评价方式，即评价标准多元化、评价主体多元化、评价时间长期化的学生评价方式。这与传统思想政治教育以教师为主导、以成绩为主要标准、短期片面的评价相对立。

当前正在推行的大学生综合素质测评体系是实现发展性学生评价的重要方式之一。它取代了以往以成绩作为唯一评价标准的做法，主张确立德智体等基本素质和创新、实践能力等拓展素质为综合评价标准，确立由本人、同学、班主任、辅导员、社区、社团等多元评价主体。通过长期多次的评价，学生充分发挥自身潜能，在参与评价的过程中学会自我反思、自我认识、自我评价、自我激励，以及自我谋划个人发展方向，使学生形成内在的强有力的发展动力，实实在在地促进自身发展，以此使“宽容”教育逐步落实到实践中。

［1］杨 楹.宽容：马克思主义生活哲学研究的重要领域［A］.第二届“宽容与构建和谐社会”研讨会论文集［C］.2008.10

［2］周元明.从宽恕到宽容：现代高校德育的理念转换［J］.湖湘论坛，2007.03

［3］张天宝.走向交往实践的主体性教育［M］.北京：教育科学出版社，2005

ISSN2095-6711/Z01-2016-09-0273

吴楠（1984— ），女，河南汝南人，华侨大学思政教师，讲师，从事高校思想政治教育研究